Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54052 / 15001
↖ ↑ ↗
← N 79.862218°
W 31.541748°		 ← 53.76 m → N 79.862218°
W 31.539002°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.861734°
W 31.541748°		 ← 53.76 m →
2 891 m²		 N 79.861734°
W 31.539002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412387847900391 y=0.114452362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412387847900391 × 217)
    floor (0.412387847900391 × 131072)
    floor (54052.5)     		tx = 54052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114452362060547 × 217)
    floor (0.114452362060547 × 131072)
    floor (15001.5)     		ty = 15001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54052 / 15001 ti = "17/54052/15001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54052/15001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54052 ÷ 217
    54052 ÷ 131072     		x = 0.412384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15001 ÷ 217
    15001 ÷ 131072     		y = 0.114448547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412384033203125 × 2 - 1) × π
    -0.17523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55050736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114448547363281 × 2 - 1) × π
    0.771102905273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.42249122229954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55050736} λ = -0.55050736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42249122229954))-π/2
    2×atan(11.2739101763429)-π/2
    2×1.48232748941987-π/2
    2.96465497883973-1.57079632675     		φ = 1.39385865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55050736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.541748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39385865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.862218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54052 KachelY 15001 -0.55050736 1.39385865 -31.541748 79.862218
    Oben rechts KachelX + 1 54053 KachelY 15001 -0.55045942 1.39385865 -31.539002 79.862218
    Unten links KachelX 54052 KachelY + 1 15002 -0.55050736 1.39385021 -31.541748 79.861734
    Unten rechts KachelX + 1 54053 KachelY + 1 15002 -0.55045942 1.39385021 -31.539002 79.861734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39385865-1.39385021) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39385865-1.39385021) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55050736--0.55045942) × cos(1.39385865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176015891310987 × 6371000     		do = 53.7597838553826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55050736--0.55045942) × cos(1.39385021) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.176024199533743 × 6371000     		du = 53.7623214004658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39385865)-sin(1.39385021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176015891310987-0.176024199533743)×R²
    abs(-0.55045942--0.55050736)×8.30822275540988e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.30822275540988e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.30822275540988e-06×40589641000000     		ar = 2890.79846345701m²