Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54051 / 15195
↖ ↑ ↗
← N 79.768000°
W 31.544495°		 ← 54.24 m → N 79.768000°
W 31.541748°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.767512°
W 31.544495°		 ← 54.25 m →
2 941 m²		 N 79.767512°
W 31.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412380218505859 y=0.115932464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412380218505859 × 217)
    floor (0.412380218505859 × 131072)
    floor (54051.5)     		tx = 54051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115932464599609 × 217)
    floor (0.115932464599609 × 131072)
    floor (15195.5)     		ty = 15195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54051 / 15195 ti = "17/54051/15195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54051/15195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54051 ÷ 217
    54051 ÷ 131072     		x = 0.412376403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15195 ÷ 217
    15195 ÷ 131072     		y = 0.115928649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412376403808594 × 2 - 1) × π
    -0.175247192382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55055529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115928649902344 × 2 - 1) × π
    0.768142700195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.41319146377325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55055529} λ = -0.55055529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41319146377325))-π/2
    2×atan(11.1695515412339)-π/2
    2×1.48150527940917-π/2
    2.96301055881835-1.57079632675     		φ = 1.39221423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55055529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.544495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39221423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.768000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54051 KachelY 15195 -0.55055529 1.39221423 -31.544495 79.768000
    Oben rechts KachelX + 1 54052 KachelY 15195 -0.55050736 1.39221423 -31.541748 79.768000
    Unten links KachelX 54051 KachelY + 1 15196 -0.55055529 1.39220572 -31.544495 79.767512
    Unten rechts KachelX + 1 54052 KachelY + 1 15196 -0.55050736 1.39220572 -31.541748 79.767512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39221423-1.39220572) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39221423-1.39220572) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55055529--0.55050736) × cos(1.39221423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177634398802999 × 6371000     		do = 54.2428006163466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55055529--0.55050736) × cos(1.39220572) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17764277345821 × 6371000     		du = 54.2453579180623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39221423)-sin(1.39220572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177634398802999-0.17764277345821)×R²
    abs(-0.55050736--0.55055529)×8.37465521102976e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.37465521102976e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.37465521102976e-06×40589641000000     		ar = 2940.96263697715m²