Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54050 / 13926
↖ ↑ ↗
← N 80.368950°
W 31.547241°		 ← 51.10 m → N 80.368950°
W 31.544495°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.368490°
W 31.547241°		 ← 51.10 m →
2 611 m²		 N 80.368490°
W 31.544495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412372589111328 y=0.106250762939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412372589111328 × 217)
    floor (0.412372589111328 × 131072)
    floor (54050.5)     		tx = 54050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106250762939453 × 217)
    floor (0.106250762939453 × 131072)
    floor (13926.5)     		ty = 13926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54050 / 13926 ti = "17/54050/13926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54050/13926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54050 ÷ 217
    54050 ÷ 131072     		x = 0.412368774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13926 ÷ 217
    13926 ÷ 131072     		y = 0.106246948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412368774414062 × 2 - 1) × π
    -0.175262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55060323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106246948242188 × 2 - 1) × π
    0.787506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4740233893911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55060323} λ = -0.55060323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4740233893911))-π/2
    2×atan(11.8701089762345)-π/2
    2×1.4867495608568-π/2
    2.97349912171361-1.57079632675     		φ = 1.40270279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55060323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.547241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40270279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.368950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54050 KachelY 13926 -0.55060323 1.40270279 -31.547241 80.368950
    Oben rechts KachelX + 1 54051 KachelY 13926 -0.55055529 1.40270279 -31.544495 80.368950
    Unten links KachelX 54050 KachelY + 1 13927 -0.55060323 1.40269477 -31.547241 80.368490
    Unten rechts KachelX + 1 54051 KachelY + 1 13927 -0.55055529 1.40269477 -31.544495 80.368490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40270279-1.40269477) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40270279-1.40269477) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55060323--0.55055529) × cos(1.40270279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167303061656442 × 6371000     		do = 51.0986614106509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55060323--0.55055529) × cos(1.40269477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167310968613296 × 6371000     		du = 51.1010763987992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40270279)-sin(1.40269477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167303061656442-0.167310968613296)×R²
    abs(-0.55055529--0.55060323)×7.90695685387588e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90695685387588e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90695685387588e-06×40589641000000     		ar = 2610.9692634749m²