Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5405 / 2783
↖ ↑ ↗
← N 81.571578°
W120.618896°		 ← 179.05 m → N 81.571578°
W120.607910°		 →
↑
179.03 m
↓
↑
179.03 m
↓
N 81.569968°
W120.618896°		 ← 179.08 m →
32 058 m²		 N 81.569968°
W120.607910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164962768554688 y=0.0849456787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164962768554688 × 215)
    floor (0.164962768554688 × 32768)
    floor (5405.5)     		tx = 5405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0849456787109375 × 215)
    floor (0.0849456787109375 × 32768)
    floor (2783.5)     		ty = 2783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5405 / 2783 ti = "15/5405/2783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5405/2783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5405 ÷ 215
    5405 ÷ 32768     		x = 0.164947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2783 ÷ 215
    2783 ÷ 32768     		y = 0.084930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164947509765625 × 2 - 1) × π
    -0.67010498046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.10519688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.084930419921875 × 2 - 1) × π
    0.83013916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60795908692953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10519688} λ = -2.10519688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60795908692953))-π/2
    2×atan(13.5713246741847)-π/2
    2×1.49724447525239-π/2
    2.99448895050478-1.57079632675     		φ = 1.42369262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10519688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.618896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42369262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.571578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5405 KachelY 2783 -2.10519688 1.42369262 -120.618896 81.571578
    Oben rechts KachelX + 1 5406 KachelY 2783 -2.10500514 1.42369262 -120.607910 81.571578
    Unten links KachelX 5405 KachelY + 1 2784 -2.10519688 1.42366452 -120.618896 81.569968
    Unten rechts KachelX + 1 5406 KachelY + 1 2784 -2.10500514 1.42366452 -120.607910 81.569968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42369262-1.42366452) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dl = 179.025099999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42369262-1.42366452) × R
    2.80999999999754e-05 × 6371000     		dr = 179.025099999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10519688--2.10500514) × cos(1.42369262) × R
    0.000191739999999996 × 0.146573738741446 × 6371000     		do = 179.050894052897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10519688--2.10500514) × cos(1.42366452) × R
    0.000191739999999996 × 0.14660153519646 × 6371000     		du = 179.084849522441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42369262)-sin(1.42366452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146573738741446-0.14660153519646)×R²
    abs(-2.10500514--2.10519688)×2.77964550139675e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77964550139675e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77964550139675e-05×40589641000000     		ar = 32057.6436558609m²