Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54049 / 15198
↖ ↑ ↗
← N 79.766536°
W 31.549988°		 ← 54.26 m → N 79.766536°
W 31.547241°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.766048°
W 31.549988°		 ← 54.26 m →
2 942 m²		 N 79.766048°
W 31.547241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412364959716797 y=0.115955352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412364959716797 × 217)
    floor (0.412364959716797 × 131072)
    floor (54049.5)     		tx = 54049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115955352783203 × 217)
    floor (0.115955352783203 × 131072)
    floor (15198.5)     		ty = 15198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54049 / 15198 ti = "17/54049/15198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54049/15198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54049 ÷ 217
    54049 ÷ 131072     		x = 0.412361145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15198 ÷ 217
    15198 ÷ 131072     		y = 0.115951538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412361145019531 × 2 - 1) × π
    -0.175277709960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.55065117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115951538085938 × 2 - 1) × π
    0.768096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41304765307439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55065117} λ = -0.55065117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41304765307439))-π/2
    2×atan(11.1679453557169)-π/2
    2×1.48149250564193-π/2
    2.96298501128385-1.57079632675     		φ = 1.39218868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55065117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.549988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39218868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.766536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54049 KachelY 15198 -0.55065117 1.39218868 -31.549988 79.766536
    Oben rechts KachelX + 1 54050 KachelY 15198 -0.55060323 1.39218868 -31.547241 79.766536
    Unten links KachelX 54049 KachelY + 1 15199 -0.55065117 1.39218017 -31.549988 79.766048
    Unten rechts KachelX + 1 54050 KachelY + 1 15199 -0.55060323 1.39218017 -31.547241 79.766048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39218868-1.39218017) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39218868-1.39218017) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55065117--0.55060323) × cos(1.39218868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177659542411877 × 6371000     		do = 54.2617972091733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55065117--0.55060323) × cos(1.39218017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177667917028461 × 6371000     		du = 54.2643550326408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39218868)-sin(1.39218017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177659542411877-0.177667917028461)×R²
    abs(-0.55060323--0.55065117)×8.37461658423355e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37461658423355e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37461658423355e-06×40589641000000     		ar = 2941.99259317559m²