Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54048 / 23136
↖ ↑ ↗
← N 46.679595°
E116.894531°		 ← 419.05 m → N 46.679595°
E116.900024°		 →
↑
419.08 m
↓
↑
419.08 m
↓
N 46.675826°
E116.894531°		 ← 419.08 m →
175 622 m²		 N 46.675826°
E116.900024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824714660644531 y=0.353034973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824714660644531 × 216)
    floor (0.824714660644531 × 65536)
    floor (54048.5)     		tx = 54048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353034973144531 × 216)
    floor (0.353034973144531 × 65536)
    floor (23136.5)     		ty = 23136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54048 / 23136 ti = "16/54048/23136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54048/23136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54048 ÷ 216
    54048 ÷ 65536     		x = 0.82470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23136 ÷ 216
    23136 ÷ 65536     		y = 0.35302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82470703125 × 2 - 1) × π
    0.6494140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.04019445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35302734375 × 2 - 1) × π
    0.2939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.923456434280762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04019445} λ = 2.04019445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923456434280762))-π/2
    2×atan(2.51797859371336)-π/2
    2×1.19275447184897-π/2
    2.38550894369793-1.57079632675     		φ = 0.81471262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04019445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81471262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.679595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54048 KachelY 23136 2.04019445 0.81471262 116.894531 46.679595
    Oben rechts KachelX + 1 54049 KachelY 23136 2.04029032 0.81471262 116.900024 46.679595
    Unten links KachelX 54048 KachelY + 1 23137 2.04019445 0.81464684 116.894531 46.675826
    Unten rechts KachelX + 1 54049 KachelY + 1 23137 2.04029032 0.81464684 116.900024 46.675826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81471262-0.81464684) × R
    6.57800000000153e-05 × 6371000     		dl = 419.084380000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81471262-0.81464684) × R
    6.57800000000153e-05 × 6371000     		dr = 419.084380000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04019445-2.04029032) × cos(0.81471262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686077498914387 × 6371000     		do = 419.047745609087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04019445-2.04029032) × cos(0.81464684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686125354252363 × 6371000     		du = 419.076975064252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81471262)-sin(0.81464684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686077498914387-0.686125354252363)×R²
    abs(2.04029032-2.04019445)×4.78553379756885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78553379756885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78553379756885e-05×40589641000000     		ar = 175622.489526409m²