Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54048 / 15008
↖ ↑ ↗
← N 79.858833°
W 31.552734°		 ← 53.77 m → N 79.858833°
W 31.549988°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.858350°
W 31.552734°		 ← 53.77 m →
2 891 m²		 N 79.858350°
W 31.549988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412357330322266 y=0.114505767822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412357330322266 × 217)
    floor (0.412357330322266 × 131072)
    floor (54048.5)     		tx = 54048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114505767822266 × 217)
    floor (0.114505767822266 × 131072)
    floor (15008.5)     		ty = 15008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54048 / 15008 ti = "17/54048/15008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54048/15008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54048 ÷ 217
    54048 ÷ 131072     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15008 ÷ 217
    15008 ÷ 131072     		y = 0.114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114501953125 × 2 - 1) × π
    0.77099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4221556640022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4221556640022))-π/2
    2×atan(11.2701277568864)-π/2
    2×1.48229795274583-π/2
    2.96459590549165-1.57079632675     		φ = 1.39379958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39379958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.858833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54048 KachelY 15008 -0.55069910 1.39379958 -31.552734 79.858833
    Oben rechts KachelX + 1 54049 KachelY 15008 -0.55065117 1.39379958 -31.549988 79.858833
    Unten links KachelX 54048 KachelY + 1 15009 -0.55069910 1.39379114 -31.552734 79.858350
    Unten rechts KachelX + 1 54049 KachelY + 1 15009 -0.55065117 1.39379114 -31.549988 79.858350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39379958-1.39379114) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39379958-1.39379114) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.39379958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17607403876317 × 6371000     		do = 53.7663259070532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.39379114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176082346898156 × 6371000     		du = 53.768862896018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39379958)-sin(1.39379114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17607403876317-0.176082346898156)×R²
    abs(-0.55065117--0.55069910)×8.30813498600702e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.30813498600702e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.30813498600702e-06×40589641000000     		ar = 2891.15022289352m²