Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54048 / 13856
↖ ↑ ↗
← N 80.401063°
W 31.552734°		 ← 50.92 m → N 80.401063°
W 31.549988°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.400605°
W 31.552734°		 ← 50.92 m →
2 595 m²		 N 80.400605°
W 31.549988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412357330322266 y=0.105716705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412357330322266 × 217)
    floor (0.412357330322266 × 131072)
    floor (54048.5)     		tx = 54048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105716705322266 × 217)
    floor (0.105716705322266 × 131072)
    floor (13856.5)     		ty = 13856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54048 / 13856 ti = "17/54048/13856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54048/13856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54048 ÷ 217
    54048 ÷ 131072     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13856 ÷ 217
    13856 ÷ 131072     		y = 0.105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105712890625 × 2 - 1) × π
    0.78857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4773789723645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4773789723645))-π/2
    2×atan(11.9100070149598)-π/2
    2×1.48702979668054-π/2
    2.97405959336108-1.57079632675     		φ = 1.40326327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40326327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.401063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54048 KachelY 13856 -0.55069910 1.40326327 -31.552734 80.401063
    Oben rechts KachelX + 1 54049 KachelY 13856 -0.55065117 1.40326327 -31.549988 80.401063
    Unten links KachelX 54048 KachelY + 1 13857 -0.55069910 1.40325527 -31.552734 80.400605
    Unten rechts KachelX + 1 54049 KachelY + 1 13857 -0.55065117 1.40325527 -31.549988 80.400605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40326327-1.40325527) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40326327-1.40325527) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.40326327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166750455083917 × 6371000     		do = 50.9192574678798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.40325527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166758343071626 × 6371000     		du = 50.9216661598194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40326327)-sin(1.40325527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166750455083917-0.166758343071626)×R²
    abs(-0.55065117--0.55069910)×7.88798770948174e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.88798770948174e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.88798770948174e-06×40589641000000     		ar = 2595.31409777479m²