Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54048 / 11807
↖ ↑ ↗
← N 81.295445°
W 31.552734°		 ← 46.21 m → N 81.295445°
W 31.549988°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.295029°
W 31.552734°		 ← 46.22 m →
2 138 m²		 N 81.295029°
W 31.549988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412357330322266 y=0.0900840759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412357330322266 × 217)
    floor (0.412357330322266 × 131072)
    floor (54048.5)     		tx = 54048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0900840759277344 × 217)
    floor (0.0900840759277344 × 131072)
    floor (11807.5)     		ty = 11807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54048 / 11807 ti = "17/54048/11807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54048/11807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54048 ÷ 217
    54048 ÷ 131072     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11807 ÷ 217
    11807 ÷ 131072     		y = 0.0900802612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0900802612304688 × 2 - 1) × π
    0.819839477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.575601679686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.575601679686))-π/2
    2×atan(13.1392203826409)-π/2
    2×1.49483475193035-π/2
    2.9896695038607-1.57079632675     		φ = 1.41887318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41887318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.295445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54048 KachelY 11807 -0.55069910 1.41887318 -31.552734 81.295445
    Oben rechts KachelX + 1 54049 KachelY 11807 -0.55065117 1.41887318 -31.549988 81.295445
    Unten links KachelX 54048 KachelY + 1 11808 -0.55069910 1.41886592 -31.552734 81.295029
    Unten rechts KachelX + 1 54049 KachelY + 1 11808 -0.55065117 1.41886592 -31.549988 81.295029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41887318-1.41886592) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41887318-1.41886592) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.41887318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15133940688297 × 6371000     		do = 46.2133085048078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.41886592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151346583257271 × 6371000     		du = 46.2154998970327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41887318)-sin(1.41886592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15133940688297-0.151346583257271)×R²
    abs(-0.55065117--0.55069910)×7.17637430192042e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17637430192042e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17637430192042e-06×40589641000000     		ar = 2137.57609611673m²