Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54048 / 11806
↖ ↑ ↗
← N 81.295860°
W 31.552734°		 ← 46.21 m → N 81.295860°
W 31.549988°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.295445°
W 31.552734°		 ← 46.21 m →
2 135 m²		 N 81.295445°
W 31.549988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412357330322266 y=0.0900764465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412357330322266 × 217)
    floor (0.412357330322266 × 131072)
    floor (54048.5)     		tx = 54048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0900764465332031 × 217)
    floor (0.0900764465332031 × 131072)
    floor (11806.5)     		ty = 11806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54048 / 11806 ti = "17/54048/11806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54048/11806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54048 ÷ 217
    54048 ÷ 131072     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11806 ÷ 217
    11806 ÷ 131072     		y = 0.0900726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0900726318359375 × 2 - 1) × π
    0.819854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57564961658562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57564961658562))-π/2
    2×atan(13.1398502512264)-π/2
    2×1.49483837921546-π/2
    2.98967675843092-1.57079632675     		φ = 1.41888043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41888043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.295860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54048 KachelY 11806 -0.55069910 1.41888043 -31.552734 81.295860
    Oben rechts KachelX + 1 54049 KachelY 11806 -0.55065117 1.41888043 -31.549988 81.295860
    Unten links KachelX 54048 KachelY + 1 11807 -0.55069910 1.41887318 -31.552734 81.295445
    Unten rechts KachelX + 1 54049 KachelY + 1 11807 -0.55065117 1.41887318 -31.549988 81.295445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41888043-1.41887318) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41888043-1.41887318) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.41888043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151332240385521 × 6371000     		do = 46.2111201285988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55065117) × cos(1.41887318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15133940688297 × 6371000     		du = 46.2133085048078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41888043)-sin(1.41887318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151332240385521-0.15133940688297)×R²
    abs(-0.55065117--0.55069910)×7.16649744894604e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.16649744894604e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.16649744894604e-06×40589641000000     		ar = 2134.5306263556m²