Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54046 / 15191
↖ ↑ ↗
← N 79.769951°
W 31.558228°		 ← 54.24 m → N 79.769951°
W 31.555481°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.769463°
W 31.558228°		 ← 54.25 m →
2 941 m²		 N 79.769463°
W 31.555481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412342071533203 y=0.115901947021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412342071533203 × 217)
    floor (0.412342071533203 × 131072)
    floor (54046.5)     		tx = 54046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115901947021484 × 217)
    floor (0.115901947021484 × 131072)
    floor (15191.5)     		ty = 15191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54046 / 15191 ti = "17/54046/15191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54046/15191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54046 ÷ 217
    54046 ÷ 131072     		x = 0.412338256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15191 ÷ 217
    15191 ÷ 131072     		y = 0.115898132324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412338256835938 × 2 - 1) × π
    -0.175323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55079498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115898132324219 × 2 - 1) × π
    0.768203735351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.41338321137173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55079498} λ = -0.55079498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41338321137173))-π/2
    2×atan(11.1716934812674)-π/2
    2×1.48152230828696-π/2
    2.96304461657392-1.57079632675     		φ = 1.39224829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55079498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.558228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39224829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.769951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54046 KachelY 15191 -0.55079498 1.39224829 -31.558228 79.769951
    Oben rechts KachelX + 1 54047 KachelY 15191 -0.55074704 1.39224829 -31.555481 79.769951
    Unten links KachelX 54046 KachelY + 1 15192 -0.55079498 1.39223978 -31.558228 79.769463
    Unten rechts KachelX + 1 54047 KachelY + 1 15192 -0.55074704 1.39223978 -31.555481 79.769463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39224829-1.39223978) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39224829-1.39223978) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55079498--0.55074704) × cos(1.39224829) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177600880371466 × 6371000     		do = 54.2438803121966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55079498--0.55074704) × cos(1.39223978) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.177609255078161 × 6371000     		du = 54.2464381631861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39224829)-sin(1.39223978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177600880371466-0.177609255078161)×R²
    abs(-0.55074704--0.55079498)×8.37470669481921e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.37470669481921e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.37470669481921e-06×40589641000000     		ar = 2941.02118979679m²