Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54046 / 14996
↖ ↑ ↗
← N 79.864635°
W 31.558228°		 ← 53.75 m → N 79.864635°
W 31.555481°		 →
↑
53.77 m
↓
↑
53.77 m
↓
N 79.864152°
W 31.558228°		 ← 53.75 m →
2 890 m²		 N 79.864152°
W 31.555481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412342071533203 y=0.114414215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412342071533203 × 217)
    floor (0.412342071533203 × 131072)
    floor (54046.5)     		tx = 54046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114414215087891 × 217)
    floor (0.114414215087891 × 131072)
    floor (14996.5)     		ty = 14996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54046 / 14996 ti = "17/54046/14996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54046/14996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54046 ÷ 217
    54046 ÷ 131072     		x = 0.412338256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14996 ÷ 217
    14996 ÷ 131072     		y = 0.114410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412338256835938 × 2 - 1) × π
    -0.175323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55079498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114410400390625 × 2 - 1) × π
    0.77117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42273090679764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55079498} λ = -0.55079498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42273090679764))-π/2
    2×atan(11.2766126817066)-π/2
    2×1.4823485810716-π/2
    2.96469716214319-1.57079632675     		φ = 1.39390084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55079498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.558228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39390084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.864635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54046 KachelY 14996 -0.55079498 1.39390084 -31.558228 79.864635
    Oben rechts KachelX + 1 54047 KachelY 14996 -0.55074704 1.39390084 -31.555481 79.864635
    Unten links KachelX 54046 KachelY + 1 14997 -0.55079498 1.39389240 -31.558228 79.864152
    Unten rechts KachelX + 1 54047 KachelY + 1 14997 -0.55074704 1.39389240 -31.555481 79.864152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39390084-1.39389240) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dl = 53.7712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39390084-1.39389240) × R
    8.43999999999845e-06 × 6371000     		dr = 53.7712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55079498--0.55074704) × cos(1.39390084) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175974359853096 × 6371000     		do = 53.7470990792474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55079498--0.55074704) × cos(1.39389240) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175982668138522 × 6371000     		du = 53.7496366434717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39390084)-sin(1.39389240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175974359853096-0.175982668138522)×R²
    abs(-0.55074704--0.55079498)×8.30828542588979e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.30828542588979e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.30828542588979e-06×40589641000000     		ar = 2890.11638797699m²