Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54045 / 13853
↖ ↑ ↗
← N 80.402437°
W 31.560974°		 ← 50.91 m → N 80.402437°
W 31.558228°		 →
↑
50.97 m
↓
↑
50.97 m
↓
N 80.401979°
W 31.560974°		 ← 50.91 m →
2 595 m²		 N 80.401979°
W 31.558228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412334442138672 y=0.105693817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412334442138672 × 217)
    floor (0.412334442138672 × 131072)
    floor (54045.5)     		tx = 54045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105693817138672 × 217)
    floor (0.105693817138672 × 131072)
    floor (13853.5)     		ty = 13853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54045 / 13853 ti = "17/54045/13853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54045/13853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54045 ÷ 217
    54045 ÷ 131072     		x = 0.412330627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13853 ÷ 217
    13853 ÷ 131072     		y = 0.105690002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412330627441406 × 2 - 1) × π
    -0.175338745117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.55084291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105690002441406 × 2 - 1) × π
    0.788619995117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.47752278306336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55084291} λ = -0.55084291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47752278306336))-π/2
    2×atan(11.9117199245565)-π/2
    2×1.48704178608047-π/2
    2.97408357216094-1.57079632675     		φ = 1.40328725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55084291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.560974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40328725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.402437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54045 KachelY 13853 -0.55084291 1.40328725 -31.560974 80.402437
    Oben rechts KachelX + 1 54046 KachelY 13853 -0.55079498 1.40328725 -31.558228 80.402437
    Unten links KachelX 54045 KachelY + 1 13854 -0.55084291 1.40327925 -31.560974 80.401979
    Unten rechts KachelX + 1 54046 KachelY + 1 13854 -0.55079498 1.40327925 -31.558228 80.401979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40328725-1.40327925) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dl = 50.968000000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40328725-1.40327925) × R
    8.000000000008e-06 × 6371000     		dr = 50.968000000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55084291--0.55079498) × cos(1.40328725) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.166726810776821 × 6371000     		do = 50.9120373941492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55084291--0.55079498) × cos(1.40327925) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.166734698796518 × 6371000     		du = 50.9144460958566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40328725)-sin(1.40327925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166726810776821-0.166734698796518)×R²
    abs(-0.55079498--0.55084291)×7.8880196973663e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.8880196973663e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.8880196973663e-06×40589641000000     		ar = 2594.9461052474m²