Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54044 / 13260
↖ ↑ ↗
← N 80.670217°
W 31.563721°		 ← 49.51 m → N 80.670217°
W 31.560974°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.669772°
W 31.563721°		 ← 49.52 m →
2 451 m²		 N 80.669772°
W 31.560974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412326812744141 y=0.101169586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412326812744141 × 217)
    floor (0.412326812744141 × 131072)
    floor (54044.5)     		tx = 54044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101169586181641 × 217)
    floor (0.101169586181641 × 131072)
    floor (13260.5)     		ty = 13260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54044 / 13260 ti = "17/54044/13260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54044/13260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54044 ÷ 217
    54044 ÷ 131072     		x = 0.412322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13260 ÷ 217
    13260 ÷ 131072     		y = 0.101165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.17535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55089085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101165771484375 × 2 - 1) × π
    0.79766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50594936453806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55089085} λ = -0.55089085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50594936453806))-π/2
    2×atan(12.2551880857664)-π/2
    2×1.48937861201478-π/2
    2.97875722402956-1.57079632675     		φ = 1.40796090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55089085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.563721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40796090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.670217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54044 KachelY 13260 -0.55089085 1.40796090 -31.563721 80.670217
    Oben rechts KachelX + 1 54045 KachelY 13260 -0.55084291 1.40796090 -31.560974 80.670217
    Unten links KachelX 54044 KachelY + 1 13261 -0.55089085 1.40795313 -31.563721 80.669772
    Unten rechts KachelX + 1 54045 KachelY + 1 13261 -0.55084291 1.40795313 -31.560974 80.669772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40796090-1.40795313) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dl = 49.5026699990539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40796090-1.40795313) × R
    7.76999999985151e-06 × 6371000     		dr = 49.5026699990539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55089085--0.55084291) × cos(1.40796090) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162116773124916 × 6371000     		do = 49.5146353981717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55089085--0.55084291) × cos(1.40795313) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.162124440335201 × 6371000     		du = 49.516977161547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40796090)-sin(1.40795313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162116773124916-0.162124440335201)×R²
    abs(-0.55084291--0.55089085)×7.6672102856945e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.6672102856945e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.6672102856945e-06×40589641000000     		ar = 2451.16461804064m²