Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54042 / 16042
↖ ↑ ↗
← N 79.346396°
W 31.569214°		 ← 56.45 m → N 79.346396°
W 31.566467°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.345888°
W 31.569214°		 ← 56.46 m →
3 190 m²		 N 79.345888°
W 31.566467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412311553955078 y=0.122394561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412311553955078 × 217)
    floor (0.412311553955078 × 131072)
    floor (54042.5)     		tx = 54042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122394561767578 × 217)
    floor (0.122394561767578 × 131072)
    floor (16042.5)     		ty = 16042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54042 / 16042 ti = "17/54042/16042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54042/16042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54042 ÷ 217
    54042 ÷ 131072     		x = 0.412307739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16042 ÷ 217
    16042 ÷ 131072     		y = 0.122390747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412307739257812 × 2 - 1) × π
    -0.175384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55098672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122390747070312 × 2 - 1) × π
    0.755218505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37258890979506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55098672} λ = -0.55098672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37258890979506))-π/2
    2×atan(10.7251227481234)-π/2
    2×1.47782609167816-π/2
    2.95565218335632-1.57079632675     		φ = 1.38485586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55098672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.569214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38485586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.346396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54042 KachelY 16042 -0.55098672 1.38485586 -31.569214 79.346396
    Oben rechts KachelX + 1 54043 KachelY 16042 -0.55093879 1.38485586 -31.566467 79.346396
    Unten links KachelX 54042 KachelY + 1 16043 -0.55098672 1.38484699 -31.569214 79.345888
    Unten rechts KachelX + 1 54043 KachelY + 1 16043 -0.55093879 1.38484699 -31.566467 79.345888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38485586-1.38484699) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38485586-1.38484699) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55098672--0.55093879) × cos(1.38485586) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184870870948682 × 6371000     		do = 56.4525444407921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55098672--0.55093879) × cos(1.38484699) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184879588047626 × 6371000     		du = 56.4552063118213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38485586)-sin(1.38484699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184870870948682-0.184879588047626)×R²
    abs(-0.55093879--0.55098672)×8.71709894398331e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.71709894398331e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.71709894398331e-06×40589641000000     		ar = 3190.25196691569m²