Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54042 / 13261
↖ ↑ ↗
← N 80.669772°
W 31.569214°		 ← 49.51 m → N 80.669772°
W 31.566467°		 →
↑
49.57 m
↓
↑
49.57 m
↓
N 80.669326°
W 31.569214°		 ← 49.51 m →
2 454 m²		 N 80.669326°
W 31.566467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412311553955078 y=0.101177215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412311553955078 × 217)
    floor (0.412311553955078 × 131072)
    floor (54042.5)     		tx = 54042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101177215576172 × 217)
    floor (0.101177215576172 × 131072)
    floor (13261.5)     		ty = 13261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54042 / 13261 ti = "17/54042/13261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54042/13261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54042 ÷ 217
    54042 ÷ 131072     		x = 0.412307739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13261 ÷ 217
    13261 ÷ 131072     		y = 0.101173400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412307739257812 × 2 - 1) × π
    -0.175384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55098672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101173400878906 × 2 - 1) × π
    0.797653198242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.50590142763844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55098672} λ = -0.55098672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50590142763844))-π/2
    2×atan(12.2546006241259)-π/2
    2×1.48937472623507-π/2
    2.97874945247014-1.57079632675     		φ = 1.40795313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55098672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.569214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40795313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.669772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54042 KachelY 13261 -0.55098672 1.40795313 -31.569214 80.669772
    Oben rechts KachelX + 1 54043 KachelY 13261 -0.55093879 1.40795313 -31.566467 80.669772
    Unten links KachelX 54042 KachelY + 1 13262 -0.55098672 1.40794535 -31.569214 80.669326
    Unten rechts KachelX + 1 54043 KachelY + 1 13262 -0.55093879 1.40794535 -31.566467 80.669326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40795313-1.40794535) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dl = 49.5663800000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40795313-1.40794535) × R
    7.78000000001278e-06 × 6371000     		dr = 49.5663800000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55098672--0.55093879) × cos(1.40795313) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.162124440335201 × 6371000     		do = 49.5066482134013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55098672--0.55093879) × cos(1.40794535) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16213211740339 × 6371000     		du = 49.5089924985278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40795313)-sin(1.40794535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162124440335201-0.16213211740339)×R²
    abs(-0.55093879--0.55098672)×7.67706818854963e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.67706818854963e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.67706818854963e-06×40589641000000     		ar = 2453.92343672277m²