Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54041 / 21576
↖ ↑ ↗
← N 52.241256°
E116.856079°		 ← 374.05 m → N 52.241256°
E116.861573°		 →
↑
374.04 m
↓
↑
374.04 m
↓
N 52.237893°
E116.856079°		 ← 374.08 m →
139 915 m²		 N 52.237893°
E116.861573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824607849121094 y=0.329231262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824607849121094 × 216)
    floor (0.824607849121094 × 65536)
    floor (54041.5)     		tx = 54041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329231262207031 × 216)
    floor (0.329231262207031 × 65536)
    floor (21576.5)     		ty = 21576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54041 / 21576 ti = "16/54041/21576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54041/21576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54041 ÷ 216
    54041 ÷ 65536     		x = 0.824600219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21576 ÷ 216
    21576 ÷ 65536     		y = 0.3292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824600219726562 × 2 - 1) × π
    0.649200439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03952333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3292236328125 × 2 - 1) × π
    0.341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07301956109534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03952333} λ = 2.03952333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07301956109534))-π/2
    2×atan(2.92419597073045)-π/2
    2×1.24128912598274-π/2
    2.48257825196548-1.57079632675     		φ = 0.91178193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03952333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.856079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91178193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.241256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54041 KachelY 21576 2.03952333 0.91178193 116.856079 52.241256
    Oben rechts KachelX + 1 54042 KachelY 21576 2.03961921 0.91178193 116.861573 52.241256
    Unten links KachelX 54041 KachelY + 1 21577 2.03952333 0.91172322 116.856079 52.237893
    Unten rechts KachelX + 1 54042 KachelY + 1 21577 2.03961921 0.91172322 116.861573 52.237893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91178193-0.91172322) × R
    5.87100000000174e-05 × 6371000     		dl = 374.041410000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91178193-0.91172322) × R
    5.87100000000174e-05 × 6371000     		dr = 374.041410000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03952333-2.03961921) × cos(0.91178193) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.612337935429099 × 6371000     		do = 374.047534116765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03952333-2.03961921) × cos(0.91172322) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.61238435027299 × 6371000     		du = 374.075886692849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91178193)-sin(0.91172322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612337935429099-0.61238435027299)×R²
    abs(2.03961921-2.03952333)×4.64148438907852e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.64148438907852e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.64148438907852e-05×40589641000000     		ar = 139914.56962695m²