Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54040 / 16025
↖ ↑ ↗
← N 79.355024°
W 31.574707°		 ← 56.42 m → N 79.355024°
W 31.571960°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.354517°
W 31.574707°		 ← 56.42 m →
3 181 m²		 N 79.354517°
W 31.571960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412296295166016 y=0.122264862060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412296295166016 × 217)
    floor (0.412296295166016 × 131072)
    floor (54040.5)     		tx = 54040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122264862060547 × 217)
    floor (0.122264862060547 × 131072)
    floor (16025.5)     		ty = 16025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54040 / 16025 ti = "17/54040/16025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54040/16025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54040 ÷ 217
    54040 ÷ 131072     		x = 0.41229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16025 ÷ 217
    16025 ÷ 131072     		y = 0.122261047363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41229248046875 × 2 - 1) × π
    -0.1754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55108260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122261047363281 × 2 - 1) × π
    0.755477905273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.3734038370886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55108260} λ = -0.55108260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3734038370886))-π/2
    2×atan(10.7338665056569)-π/2
    2×1.47790138968214-π/2
    2.95580277936428-1.57079632675     		φ = 1.38500645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55108260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.574707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38500645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.355024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54040 KachelY 16025 -0.55108260 1.38500645 -31.574707 79.355024
    Oben rechts KachelX + 1 54041 KachelY 16025 -0.55103466 1.38500645 -31.571960 79.355024
    Unten links KachelX 54040 KachelY + 1 16026 -0.55108260 1.38499760 -31.574707 79.354517
    Unten rechts KachelX + 1 54041 KachelY + 1 16026 -0.55103466 1.38499760 -31.571960 79.354517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38500645-1.38499760) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38500645-1.38499760) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55108260--0.55103466) × cos(1.38500645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184722874599933 × 6371000     		do = 56.4191206695748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55108260--0.55103466) × cos(1.38499760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184731572289942 × 6371000     		du = 56.4217771679821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38500645)-sin(1.38499760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184722874599933-0.184731572289942)×R²
    abs(-0.55103466--0.55108260)×8.69769000877429e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69769000877429e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69769000877429e-06×40589641000000     		ar = 3181.17391861136m²