Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54039 / 13798
↖ ↑ ↗
← N 80.427590°
W 31.577453°		 ← 50.78 m → N 80.427590°
W 31.574707°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
N 80.427133°
W 31.577453°		 ← 50.78 m →
2 579 m²		 N 80.427133°
W 31.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412288665771484 y=0.105274200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412288665771484 × 217)
    floor (0.412288665771484 × 131072)
    floor (54039.5)     		tx = 54039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105274200439453 × 217)
    floor (0.105274200439453 × 131072)
    floor (13798.5)     		ty = 13798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54039 / 13798 ti = "17/54039/13798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54039/13798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54039 ÷ 217
    54039 ÷ 131072     		x = 0.412284851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13798 ÷ 217
    13798 ÷ 131072     		y = 0.105270385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412284851074219 × 2 - 1) × π
    -0.175430297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55113053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105270385742188 × 2 - 1) × π
    0.789459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48015931254247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55113053} λ = -0.55113053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48015931254247))-π/2
    2×atan(11.9431669625894)-π/2
    2×1.48726129071658-π/2
    2.97452258143316-1.57079632675     		φ = 1.40372625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55113053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.577453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40372625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.427590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54039 KachelY 13798 -0.55113053 1.40372625 -31.577453 80.427590
    Oben rechts KachelX + 1 54040 KachelY 13798 -0.55108260 1.40372625 -31.574707 80.427590
    Unten links KachelX 54039 KachelY + 1 13799 -0.55113053 1.40371828 -31.577453 80.427133
    Unten rechts KachelX + 1 54040 KachelY + 1 13799 -0.55108260 1.40371828 -31.574707 80.427133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40372625-1.40371828) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40372625-1.40371828) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55113053--0.55108260) × cos(1.40372625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166293939351177 × 6371000     		do = 50.7798548970033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55113053--0.55108260) × cos(1.40371828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166301798373425 × 6371000     		du = 50.782254743991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40372625)-sin(1.40371828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166293939351177-0.166301798373425)×R²
    abs(-0.55108260--0.55113053)×7.85902224864632e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.85902224864632e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.85902224864632e-06×40589641000000     		ar = 2578.50301916148m²