Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54037 / 50101
↖ ↑ ↗
← S 68.506106°
E116.834107°		 ← 223.79 m → S 68.506106°
E116.839600°		 →
↑
223.75 m
↓
↑
223.75 m
↓
S 68.508118°
E116.834107°		 ← 223.77 m →
50 072 m²		 S 68.508118°
E116.839600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824546813964844 y=0.764488220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824546813964844 × 216)
    floor (0.824546813964844 × 65536)
    floor (54037.5)     		tx = 54037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764488220214844 × 216)
    floor (0.764488220214844 × 65536)
    floor (50101.5)     		ty = 50101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54037 / 50101 ti = "16/54037/50101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54037/50101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54037 ÷ 216
    54037 ÷ 65536     		x = 0.824539184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50101 ÷ 216
    50101 ÷ 65536     		y = 0.764480590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824539184570312 × 2 - 1) × π
    0.649078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03913984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764480590820312 × 2 - 1) × π
    -0.528961181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66178056222887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03913984} λ = 2.03913984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66178056222887))-π/2
    2×atan(0.189800727044991)-π/2
    2×0.187569609639948-π/2
    0.375139219279897-1.57079632675     		φ = -1.19565711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03913984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.834107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19565711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.506106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54037 KachelY 50101 2.03913984 -1.19565711 116.834107 -68.506106
    Oben rechts KachelX + 1 54038 KachelY 50101 2.03923571 -1.19565711 116.839600 -68.506106
    Unten links KachelX 54037 KachelY + 1 50102 2.03913984 -1.19569223 116.834107 -68.508118
    Unten rechts KachelX + 1 54038 KachelY + 1 50102 2.03923571 -1.19569223 116.839600 -68.508118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19565711--1.19569223) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dl = 223.749519999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19565711--1.19569223) × R
    3.51199999999441e-05 × 6371000     		dr = 223.749519999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03913984-2.03923571) × cos(-1.19565711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.366402067824957 × 6371000     		do = 223.793901930189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03913984-2.03923571) × cos(-1.19569223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36636938996245 × 6371000     		du = 223.77394269142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19565711)-sin(-1.19569223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366402067824957-0.36636938996245)×R²
    abs(2.03923571-2.03913984)×3.26778625068802e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26778625068802e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26778625068802e-05×40589641000000     		ar = 50071.5452059108m²