Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54036 / 16068
↖ ↑ ↗
← N 79.333186°
W 31.585694°		 ← 56.53 m → N 79.333186°
W 31.582947°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.332678°
W 31.585694°		 ← 56.54 m →
3 195 m²		 N 79.332678°
W 31.582947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412265777587891 y=0.122592926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412265777587891 × 217)
    floor (0.412265777587891 × 131072)
    floor (54036.5)     		tx = 54036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122592926025391 × 217)
    floor (0.122592926025391 × 131072)
    floor (16068.5)     		ty = 16068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54036 / 16068 ti = "17/54036/16068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54036/16068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54036 ÷ 217
    54036 ÷ 131072     		x = 0.412261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16068 ÷ 217
    16068 ÷ 131072     		y = 0.122589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.17547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55127435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122589111328125 × 2 - 1) × π
    0.75482177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37134255040494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55127435} λ = -0.55127435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37134255040494))-π/2
    2×atan(10.7117637174821)-π/2
    2×1.47771081331767-π/2
    2.95542162663534-1.57079632675     		φ = 1.38462530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55127435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.585694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38462530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.333186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54036 KachelY 16068 -0.55127435 1.38462530 -31.585694 79.333186
    Oben rechts KachelX + 1 54037 KachelY 16068 -0.55122641 1.38462530 -31.582947 79.333186
    Unten links KachelX 54036 KachelY + 1 16069 -0.55127435 1.38461643 -31.585694 79.332678
    Unten rechts KachelX + 1 54037 KachelY + 1 16069 -0.55122641 1.38461643 -31.582947 79.332678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38462530-1.38461643) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38462530-1.38461643) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55127435--0.55122641) × cos(1.38462530) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185097451828861 × 6371000     		do = 56.5335261970381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55127435--0.55122641) × cos(1.38461643) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185106168549491 × 6371000     		du = 56.5361885078868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38462530)-sin(1.38461643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185097451828861-0.185106168549491)×R²
    abs(-0.55122641--0.55127435)×8.71672062999207e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.71672062999207e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.71672062999207e-06×40589641000000     		ar = 3194.82832087058m²