Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54035 / 16066
↖ ↑ ↗
← N 79.334203°
W 31.588440°		 ← 56.52 m → N 79.334203°
W 31.585694°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.333694°
W 31.588440°		 ← 56.52 m →
3 197 m²		 N 79.333694°
W 31.585694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412258148193359 y=0.122577667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412258148193359 × 217)
    floor (0.412258148193359 × 131072)
    floor (54035.5)     		tx = 54035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122577667236328 × 217)
    floor (0.122577667236328 × 131072)
    floor (16066.5)     		ty = 16066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54035 / 16066 ti = "17/54035/16066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54035/16066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54035 ÷ 217
    54035 ÷ 131072     		x = 0.412254333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16066 ÷ 217
    16066 ÷ 131072     		y = 0.122573852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412254333496094 × 2 - 1) × π
    -0.175491333007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55132228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122573852539062 × 2 - 1) × π
    0.754852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37143842420418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55132228} λ = -0.55132228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37143842420418))-π/2
    2×atan(10.7127907441979)-π/2
    2×1.47771968589767-π/2
    2.95543937179533-1.57079632675     		φ = 1.38464305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55132228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.588440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38464305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.334203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54035 KachelY 16066 -0.55132228 1.38464305 -31.588440 79.334203
    Oben rechts KachelX + 1 54036 KachelY 16066 -0.55127435 1.38464305 -31.585694 79.334203
    Unten links KachelX 54035 KachelY + 1 16067 -0.55132228 1.38463417 -31.588440 79.333694
    Unten rechts KachelX + 1 54036 KachelY + 1 16067 -0.55127435 1.38463417 -31.585694 79.333694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38464305-1.38463417) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38464305-1.38463417) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55132228--0.55127435) × cos(1.38464305) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185080008516678 × 6371000     		do = 56.5164071131048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55132228--0.55127435) × cos(1.38463417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185088735093668 × 6371000     		du = 56.5190718783693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38464305)-sin(1.38463417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185080008516678-0.185088735093668)×R²
    abs(-0.55127435--0.55132228)×8.72657698960944e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72657698960944e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72657698960944e-06×40589641000000     		ar = 3197.4617227046m²