Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54032 / 18705
↖ ↑ ↗
← N 77.905890°
W 31.596680°		 ← 63.98 m → N 77.905890°
W 31.593933°		 →
↑
64.03 m
↓
↑
64.03 m
↓
N 77.905314°
W 31.596680°		 ← 63.98 m →
4 097 m²		 N 77.905314°
W 31.593933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412235260009766 y=0.142711639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412235260009766 × 217)
    floor (0.412235260009766 × 131072)
    floor (54032.5)     		tx = 54032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142711639404297 × 217)
    floor (0.142711639404297 × 131072)
    floor (18705.5)     		ty = 18705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54032 / 18705 ti = "17/54032/18705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54032/18705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54032 ÷ 217
    54032 ÷ 131072     		x = 0.4122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18705 ÷ 217
    18705 ÷ 131072     		y = 0.142707824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142707824707031 × 2 - 1) × π
    0.714584350585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.24493294610685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55146609} λ = -0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24493294610685))-π/2
    2×atan(9.43978256106698)-π/2
    2×1.46525530776193-π/2
    2.93051061552386-1.57079632675     		φ = 1.35971429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35971429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.905890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54032 KachelY 18705 -0.55146609 1.35971429 -31.596680 77.905890
    Oben rechts KachelX + 1 54033 KachelY 18705 -0.55141816 1.35971429 -31.593933 77.905890
    Unten links KachelX 54032 KachelY + 1 18706 -0.55146609 1.35970424 -31.596680 77.905314
    Unten rechts KachelX + 1 54033 KachelY + 1 18706 -0.55141816 1.35970424 -31.593933 77.905314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35971429-1.35970424) × R
    1.00500000002057e-05 × 6371000     		dl = 64.0285500013107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35971429-1.35970424) × R
    1.00500000002057e-05 × 6371000     		dr = 64.0285500013107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55146609--0.55141816) × cos(1.35971429) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.209518043043083 × 6371000     		do = 63.9788549453022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55146609--0.55141816) × cos(1.35970424) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20952786997055 × 6371000     		du = 63.9818557158224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35971429)-sin(1.35970424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209518043043083-0.20952786997055)×R²
    abs(-0.55141816--0.55146609)×9.82692746762104e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.82692746762104e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.82692746762104e-06×40589641000000     		ar = 4096.56938054297m²