Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54032 / 12654
↖ ↑ ↗
← N 80.936218°
W 31.596680°		 ← 48.10 m → N 80.936218°
W 31.593933°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.935784°
W 31.596680°		 ← 48.11 m →
2 317 m²		 N 80.935784°
W 31.593933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412235260009766 y=0.0965461730957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412235260009766 × 217)
    floor (0.412235260009766 × 131072)
    floor (54032.5)     		tx = 54032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0965461730957031 × 217)
    floor (0.0965461730957031 × 131072)
    floor (12654.5)     		ty = 12654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54032 / 12654 ti = "17/54032/12654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54032/12654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54032 ÷ 217
    54032 ÷ 131072     		x = 0.4122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12654 ÷ 217
    12654 ÷ 131072     		y = 0.0965423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55146609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0965423583984375 × 2 - 1) × π
    0.806915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53499912570781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55146609} λ = -0.55146609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53499912570781))-π/2
    2×atan(12.6164198175948)-π/2
    2×1.49169990092636-π/2
    2.98339980185273-1.57079632675     		φ = 1.41260348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55146609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41260348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.936218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54032 KachelY 12654 -0.55146609 1.41260348 -31.596680 80.936218
    Oben rechts KachelX + 1 54033 KachelY 12654 -0.55141816 1.41260348 -31.593933 80.936218
    Unten links KachelX 54032 KachelY + 1 12655 -0.55146609 1.41259592 -31.596680 80.935784
    Unten rechts KachelX + 1 54033 KachelY + 1 12655 -0.55141816 1.41259592 -31.593933 80.935784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41260348-1.41259592) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41260348-1.41259592) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55146609--0.55141816) × cos(1.41260348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157533876485154 × 6371000     		do = 48.1048643173054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55146609--0.55141816) × cos(1.41259592) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157541342083344 × 6371000     		du = 48.1071440275239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41260348)-sin(1.41259592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157533876485154-0.157541342083344)×R²
    abs(-0.55141816--0.55146609)×7.46559819000958e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.46559819000958e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.46559819000958e-06×40589641000000     		ar = 2317.01414546782m²