Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54031 / 16035
↖ ↑ ↗
← N 79.349949°
W 31.599426°		 ← 56.45 m → N 79.349949°
W 31.596680°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.349442°
W 31.599426°		 ← 56.45 m →
3 186 m²		 N 79.349442°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412227630615234 y=0.122341156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412227630615234 × 217)
    floor (0.412227630615234 × 131072)
    floor (54031.5)     		tx = 54031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122341156005859 × 217)
    floor (0.122341156005859 × 131072)
    floor (16035.5)     		ty = 16035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54031 / 16035 ti = "17/54031/16035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54031/16035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54031 ÷ 217
    54031 ÷ 131072     		x = 0.412223815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16035 ÷ 217
    16035 ÷ 131072     		y = 0.122337341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412223815917969 × 2 - 1) × π
    -0.175552368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55151403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122337341308594 × 2 - 1) × π
    0.755325317382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.3729244680924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55151403} λ = -0.55151403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3729244680924))-π/2
    2×atan(10.7287222559401)-π/2
    2×1.47785710404223-π/2
    2.95571420808445-1.57079632675     		φ = 1.38491788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55151403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.599426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38491788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.349949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54031 KachelY 16035 -0.55151403 1.38491788 -31.599426 79.349949
    Oben rechts KachelX + 1 54032 KachelY 16035 -0.55146609 1.38491788 -31.596680 79.349949
    Unten links KachelX 54031 KachelY + 1 16036 -0.55151403 1.38490902 -31.599426 79.349442
    Unten rechts KachelX + 1 54032 KachelY + 1 16036 -0.55146609 1.38490902 -31.596680 79.349442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38491788-1.38490902) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38491788-1.38490902) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55151403--0.55146609) × cos(1.38491788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184809919643051 × 6371000     		do = 56.4457064662825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55151403--0.55146609) × cos(1.38490902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184818627015955 × 6371000     		du = 56.448365922095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38491788)-sin(1.38490902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184809919643051-0.184818627015955)×R²
    abs(-0.55146609--0.55151403)×8.70737290364909e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70737290364909e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70737290364909e-06×40589641000000     		ar = 3186.26923885586m²