Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54031 / 13331
↖ ↑ ↗
← N 80.638550°
W 31.599426°		 ← 49.68 m → N 80.638550°
W 31.596680°		 →
↑
49.69 m
↓
↑
49.69 m
↓
N 80.638103°
W 31.599426°		 ← 49.68 m →
2 469 m²		 N 80.638103°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412227630615234 y=0.101711273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412227630615234 × 217)
    floor (0.412227630615234 × 131072)
    floor (54031.5)     		tx = 54031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101711273193359 × 217)
    floor (0.101711273193359 × 131072)
    floor (13331.5)     		ty = 13331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54031 / 13331 ti = "17/54031/13331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54031/13331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54031 ÷ 217
    54031 ÷ 131072     		x = 0.412223815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13331 ÷ 217
    13331 ÷ 131072     		y = 0.101707458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412223815917969 × 2 - 1) × π
    -0.175552368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55151403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101707458496094 × 2 - 1) × π
    0.796585083007812 × 3.1415926535     		Φ = 2.50254584466503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55151403} λ = -0.55151403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50254584466503))-π/2
    2×atan(12.2135482108359)-π/2
    2×1.48910226439811-π/2
    2.97820452879621-1.57079632675     		φ = 1.40740820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55151403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.599426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40740820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.638550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54031 KachelY 13331 -0.55151403 1.40740820 -31.599426 80.638550
    Oben rechts KachelX + 1 54032 KachelY 13331 -0.55146609 1.40740820 -31.596680 80.638550
    Unten links KachelX 54031 KachelY + 1 13332 -0.55151403 1.40740040 -31.599426 80.638103
    Unten rechts KachelX + 1 54032 KachelY + 1 13332 -0.55146609 1.40740040 -31.596680 80.638103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40740820-1.40740040) × R
    7.80000000011327e-06 × 6371000     		dl = 49.6938000007217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40740820-1.40740040) × R
    7.80000000011327e-06 × 6371000     		dr = 49.6938000007217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55151403--0.55146609) × cos(1.40740820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162662136988136 × 6371000     		do = 49.6812035595502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55151403--0.55146609) × cos(1.40740040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.162669833101444 × 6371000     		du = 49.6835541506525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40740820)-sin(1.40740040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162662136988136-0.162669833101444)×R²
    abs(-0.55146609--0.55151403)×7.69611330819764e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.69611330819764e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.69611330819764e-06×40589641000000     		ar = 2468.90619828834m²