Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54031 / 12367
↖ ↑ ↗
← N 81.059556°
W 31.599426°		 ← 47.47 m → N 81.059556°
W 31.596680°		 →
↑
47.46 m
↓
↑
47.46 m
↓
N 81.059130°
W 31.599426°		 ← 47.47 m →
2 253 m²		 N 81.059130°
W 31.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412227630615234 y=0.0943565368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412227630615234 × 217)
    floor (0.412227630615234 × 131072)
    floor (54031.5)     		tx = 54031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943565368652344 × 217)
    floor (0.0943565368652344 × 131072)
    floor (12367.5)     		ty = 12367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54031 / 12367 ti = "17/54031/12367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54031/12367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54031 ÷ 217
    54031 ÷ 131072     		x = 0.412223815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12367 ÷ 217
    12367 ÷ 131072     		y = 0.0943527221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412223815917969 × 2 - 1) × π
    -0.175552368164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55151403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0943527221679688 × 2 - 1) × π
    0.811294555664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.54875701589877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55151403} λ = -0.55151403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54875701589877))-π/2
    2×atan(12.7911946457288)-π/2
    2×1.49277623883208-π/2
    2.98555247766416-1.57079632675     		φ = 1.41475615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55151403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.599426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41475615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.059556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54031 KachelY 12367 -0.55151403 1.41475615 -31.599426 81.059556
    Oben rechts KachelX + 1 54032 KachelY 12367 -0.55146609 1.41475615 -31.596680 81.059556
    Unten links KachelX 54031 KachelY + 1 12368 -0.55151403 1.41474870 -31.599426 81.059130
    Unten rechts KachelX + 1 54032 KachelY + 1 12368 -0.55146609 1.41474870 -31.596680 81.059130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41475615-1.41474870) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dl = 47.463950000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41475615-1.41474870) × R
    7.45000000001994e-06 × 6371000     		dr = 47.463950000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55151403--0.55146609) × cos(1.41475615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155407722256083 × 6371000     		do = 47.4655185717474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55151403--0.55146609) × cos(1.41474870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155415081737352 × 6371000     		du = 47.4677663467601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41475615)-sin(1.41474870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155407722256083-0.155415081737352)×R²
    abs(-0.55146609--0.55151403)×7.35948126931452e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35948126931452e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35948126931452e-06×40589641000000     		ar = 2252.9543442219m²