Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54027 / 18806
↖ ↑ ↗
← N 77.847631°
W 31.610413°		 ← 64.30 m → N 77.847631°
W 31.607666°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.847053°
W 31.610413°		 ← 64.30 m →
4 137 m²		 N 77.847053°
W 31.607666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412197113037109 y=0.143482208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412197113037109 × 217)
    floor (0.412197113037109 × 131072)
    floor (54027.5)     		tx = 54027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143482208251953 × 217)
    floor (0.143482208251953 × 131072)
    floor (18806.5)     		ty = 18806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54027 / 18806 ti = "17/54027/18806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54027/18806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54027 ÷ 217
    54027 ÷ 131072     		x = 0.412193298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18806 ÷ 217
    18806 ÷ 131072     		y = 0.143478393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412193298339844 × 2 - 1) × π
    -0.175613403320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.55170578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143478393554688 × 2 - 1) × π
    0.713043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24009131924522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55170578} λ = -0.55170578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24009131924522))-π/2
    2×atan(9.39418911853374)-π/2
    2×1.46474690126282-π/2
    2.92949380252563-1.57079632675     		φ = 1.35869748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55170578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.610413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35869748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.847631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54027 KachelY 18806 -0.55170578 1.35869748 -31.610413 77.847631
    Oben rechts KachelX + 1 54028 KachelY 18806 -0.55165784 1.35869748 -31.607666 77.847631
    Unten links KachelX 54027 KachelY + 1 18807 -0.55170578 1.35868738 -31.610413 77.847053
    Unten rechts KachelX + 1 54028 KachelY + 1 18807 -0.55165784 1.35868738 -31.607666 77.847053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35869748-1.35868738) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dl = 64.3471000007894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35869748-1.35868738) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dr = 64.3471000007894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55170578--0.55165784) × cos(1.35869748) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210512176240458 × 6371000     		do = 64.295837207359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55170578--0.55165784) × cos(1.35868738) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210522049901199 × 6371000     		du = 64.2988528774973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35869748)-sin(1.35868738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210512176240458-0.210522049901199)×R²
    abs(-0.55165784--0.55170578)×9.87366074095553e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.87366074095553e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.87366074095553e-06×40589641000000     		ar = 4137.34769117659m²