Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54025 / 18805
↖ ↑ ↗
← N 77.848209°
W 31.615906°		 ← 64.29 m → N 77.848209°
W 31.613159°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.847631°
W 31.615906°		 ← 64.30 m →
4 133 m²		 N 77.847631°
W 31.613159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412181854248047 y=0.143474578857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412181854248047 × 217)
    floor (0.412181854248047 × 131072)
    floor (54025.5)     		tx = 54025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143474578857422 × 217)
    floor (0.143474578857422 × 131072)
    floor (18805.5)     		ty = 18805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54025 / 18805 ti = "17/54025/18805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54025/18805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54025 ÷ 217
    54025 ÷ 131072     		x = 0.412178039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18805 ÷ 217
    18805 ÷ 131072     		y = 0.143470764160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412178039550781 × 2 - 1) × π
    -0.175643920898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.55180165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143470764160156 × 2 - 1) × π
    0.713058471679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24013925614484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55180165} λ = -0.55180165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24013925614484))-π/2
    2×atan(9.39463945762837)-π/2
    2×1.46475194679522-π/2
    2.92950389359045-1.57079632675     		φ = 1.35870757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55180165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.615906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35870757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.848209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54025 KachelY 18805 -0.55180165 1.35870757 -31.615906 77.848209
    Oben rechts KachelX + 1 54026 KachelY 18805 -0.55175371 1.35870757 -31.613159 77.848209
    Unten links KachelX 54025 KachelY + 1 18806 -0.55180165 1.35869748 -31.615906 77.847631
    Unten rechts KachelX + 1 54026 KachelY + 1 18806 -0.55175371 1.35869748 -31.613159 77.847631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35870757-1.35869748) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35870757-1.35869748) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55180165--0.55175371) × cos(1.35870757) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210502312334176 × 6371000     		do = 64.2928245164837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55180165--0.55175371) × cos(1.35869748) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210512176240458 × 6371000     		du = 64.295837207359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35870757)-sin(1.35869748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210502312334176-0.210512176240458)×R²
    abs(-0.55175371--0.55180165)×9.86390628154865e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.86390628154865e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.86390628154865e-06×40589641000000     		ar = 4133.05754557067m²