Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54022 / 16055
↖ ↑ ↗
← N 79.339793°
W 31.624145°		 ← 56.49 m → N 79.339793°
W 31.621399°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.339285°
W 31.624145°		 ← 56.49 m →
3 189 m²		 N 79.339285°
W 31.621399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412158966064453 y=0.122493743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412158966064453 × 217)
    floor (0.412158966064453 × 131072)
    floor (54022.5)     		tx = 54022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122493743896484 × 217)
    floor (0.122493743896484 × 131072)
    floor (16055.5)     		ty = 16055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54022 / 16055 ti = "17/54022/16055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54022/16055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54022 ÷ 217
    54022 ÷ 131072     		x = 0.412155151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16055 ÷ 217
    16055 ÷ 131072     		y = 0.122489929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412155151367188 × 2 - 1) × π
    -0.175689697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55194546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122489929199219 × 2 - 1) × π
    0.755020141601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.3719657301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55194546} λ = -0.55194546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3719657301))-π/2
    2×atan(10.7184411515337)-π/2
    2×1.47776847014774-π/2
    2.95553694029548-1.57079632675     		φ = 1.38474061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55194546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.624145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38474061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.339793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54022 KachelY 16055 -0.55194546 1.38474061 -31.624145 79.339793
    Oben rechts KachelX + 1 54023 KachelY 16055 -0.55189753 1.38474061 -31.621399 79.339793
    Unten links KachelX 54022 KachelY + 1 16056 -0.55194546 1.38473175 -31.624145 79.339285
    Unten rechts KachelX + 1 54023 KachelY + 1 16056 -0.55189753 1.38473175 -31.621399 79.339285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38474061-1.38473175) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38474061-1.38473175) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55194546--0.55189753) × cos(1.38474061) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184984133135698 × 6371000     		do = 56.4871304121415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55194546--0.55189753) × cos(1.38473175) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.184992840218193 × 6371000     		du = 56.4897892245277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38474061)-sin(1.38473175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184984133135698-0.184992840218193)×R²
    abs(-0.55189753--0.55194546)×8.70708249528507e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.70708249528507e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.70708249528507e-06×40589641000000     		ar = 3188.60748074144m²