Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54021 / 18741
↖ ↑ ↗
← N 77.885156°
W 31.626892°		 ← 64.10 m → N 77.885156°
W 31.624145°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.884580°
W 31.626892°		 ← 64.10 m →
4 108 m²		 N 77.884580°
W 31.624145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412151336669922 y=0.142986297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412151336669922 × 217)
    floor (0.412151336669922 × 131072)
    floor (54021.5)     		tx = 54021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142986297607422 × 217)
    floor (0.142986297607422 × 131072)
    floor (18741.5)     		ty = 18741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54021 / 18741 ti = "17/54021/18741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54021/18741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54021 ÷ 217
    54021 ÷ 131072     		x = 0.412147521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18741 ÷ 217
    18741 ÷ 131072     		y = 0.142982482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412147521972656 × 2 - 1) × π
    -0.175704956054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55199340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142982482910156 × 2 - 1) × π
    0.714035034179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.24320721772053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55199340} λ = -0.55199340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24320721772053))-π/2
    2×atan(9.423506108748)-π/2
    2×1.46507436953068-π/2
    2.93014873906137-1.57079632675     		φ = 1.35935241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55199340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.626892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35935241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.885156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54021 KachelY 18741 -0.55199340 1.35935241 -31.626892 77.885156
    Oben rechts KachelX + 1 54022 KachelY 18741 -0.55194546 1.35935241 -31.624145 77.885156
    Unten links KachelX 54021 KachelY + 1 18742 -0.55199340 1.35934235 -31.626892 77.884580
    Unten rechts KachelX + 1 54022 KachelY + 1 18742 -0.55194546 1.35934235 -31.624145 77.884580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35935241-1.35934235) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dl = 64.0922600009235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35935241-1.35934235) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dr = 64.0922600009235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55199340--0.55194546) × cos(1.35935241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209871877310547 × 6371000     		do = 64.1002734327209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55199340--0.55194546) × cos(1.35934235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209881713252626 × 6371000     		du = 64.1032775826091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35935241)-sin(1.35934235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209871877310547-0.209881713252626)×R²
    abs(-0.55194546--0.55199340)×9.83594207920602e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.83594207920602e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.83594207920602e-06×40589641000000     		ar = 4108.42766244576m²