Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54015 / 18740
↖ ↑ ↗
← N 77.885732°
W 31.643372°		 ← 64.10 m → N 77.885732°
W 31.640625°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.885156°
W 31.643372°		 ← 64.10 m →
4 108 m²		 N 77.885156°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412105560302734 y=0.142978668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412105560302734 × 217)
    floor (0.412105560302734 × 131072)
    floor (54015.5)     		tx = 54015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142978668212891 × 217)
    floor (0.142978668212891 × 131072)
    floor (18740.5)     		ty = 18740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54015 / 18740 ti = "17/54015/18740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54015/18740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54015 ÷ 217
    54015 ÷ 131072     		x = 0.412101745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18740 ÷ 217
    18740 ÷ 131072     		y = 0.142974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412101745605469 × 2 - 1) × π
    -0.175796508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55228102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142974853515625 × 2 - 1) × π
    0.71405029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24325515462015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55228102} λ = -0.55228102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24325515462015))-π/2
    2×atan(9.42395785324193)-π/2
    2×1.46507939971631-π/2
    2.93015879943261-1.57079632675     		φ = 1.35936247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55228102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.643372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35936247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.885732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54015 KachelY 18740 -0.55228102 1.35936247 -31.643372 77.885732
    Oben rechts KachelX + 1 54016 KachelY 18740 -0.55223308 1.35936247 -31.640625 77.885732
    Unten links KachelX 54015 KachelY + 1 18741 -0.55228102 1.35935241 -31.643372 77.885156
    Unten rechts KachelX + 1 54016 KachelY + 1 18741 -0.55223308 1.35935241 -31.640625 77.885156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35936247-1.35935241) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dl = 64.0922599995089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35936247-1.35935241) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dr = 64.0922599995089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55228102--0.55223308) × cos(1.35936247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209862041347228 × 6371000     		do = 64.0972692763457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55228102--0.55223308) × cos(1.35935241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209871877310547 × 6371000     		du = 64.1002734327209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35936247)-sin(1.35935241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209862041347228-0.209871877310547)×R²
    abs(-0.55223308--0.55228102)×9.83596331877168e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.83596331877168e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.83596331877168e-06×40589641000000     		ar = 4108.23511937876m²