Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54015 / 13213
↖ ↑ ↗
← N 80.691122°
W 31.643372°		 ← 49.40 m → N 80.691122°
W 31.640625°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.690677°
W 31.643372°		 ← 49.41 m →
2 443 m²		 N 80.690677°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412105560302734 y=0.100811004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412105560302734 × 217)
    floor (0.412105560302734 × 131072)
    floor (54015.5)     		tx = 54015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100811004638672 × 217)
    floor (0.100811004638672 × 131072)
    floor (13213.5)     		ty = 13213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54015 / 13213 ti = "17/54015/13213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54015/13213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54015 ÷ 217
    54015 ÷ 131072     		x = 0.412101745605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13213 ÷ 217
    13213 ÷ 131072     		y = 0.100807189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412101745605469 × 2 - 1) × π
    -0.175796508789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.55228102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100807189941406 × 2 - 1) × π
    0.798385620117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.5082023988202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55228102} λ = -0.55228102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5082023988202))-π/2
    2×atan(12.2828305726999)-π/2
    2×1.48956103647665-π/2
    2.9791220729533-1.57079632675     		φ = 1.40832575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55228102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.643372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40832575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.691122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54015 KachelY 13213 -0.55228102 1.40832575 -31.643372 80.691122
    Oben rechts KachelX + 1 54016 KachelY 13213 -0.55223308 1.40832575 -31.640625 80.691122
    Unten links KachelX 54015 KachelY + 1 13214 -0.55228102 1.40831799 -31.643372 80.690677
    Unten rechts KachelX + 1 54016 KachelY + 1 13214 -0.55223308 1.40831799 -31.640625 80.690677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40832575-1.40831799) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40832575-1.40831799) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55228102--0.55223308) × cos(1.40832575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161756738731667 × 6371000     		do = 49.4046716270738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55228102--0.55223308) × cos(1.40831799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161764396532742 × 6371000     		du = 49.4070105166338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40832575)-sin(1.40831799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161756738731667-0.161764396532742)×R²
    abs(-0.55223308--0.55228102)×7.65780107456204e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65780107456204e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65780107456204e-06×40589641000000     		ar = 2442.57340043724m²