Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54013 / 20820
↖ ↑ ↗
← N 54.711929°
E116.702270°		 ← 352.88 m → N 54.711929°
E116.707764°		 →
↑
352.89 m
↓
↑
352.89 m
↓
N 54.708755°
E116.702270°		 ← 352.91 m →
124 533 m²		 N 54.708755°
E116.707764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824180603027344 y=0.317695617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824180603027344 × 216)
    floor (0.824180603027344 × 65536)
    floor (54013.5)     		tx = 54013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317695617675781 × 216)
    floor (0.317695617675781 × 65536)
    floor (20820.5)     		ty = 20820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54013 / 20820 ti = "16/54013/20820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54013/20820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54013 ÷ 216
    54013 ÷ 65536     		x = 0.824172973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20820 ÷ 216
    20820 ÷ 65536     		y = 0.31768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824172973632812 × 2 - 1) × π
    0.648345947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.03683886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31768798828125 × 2 - 1) × π
    0.3646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14550015332086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03683886} λ = 2.03683886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14550015332086))-π/2
    2×atan(3.14401345243105)-π/2
    2×1.26284981264877-π/2
    2.52569962529754-1.57079632675     		φ = 0.95490330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03683886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.702270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95490330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.711929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54013 KachelY 20820 2.03683886 0.95490330 116.702270 54.711929
    Oben rechts KachelX + 1 54014 KachelY 20820 2.03693474 0.95490330 116.707764 54.711929
    Unten links KachelX 54013 KachelY + 1 20821 2.03683886 0.95484791 116.702270 54.708755
    Unten rechts KachelX + 1 54014 KachelY + 1 20821 2.03693474 0.95484791 116.707764 54.708755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95490330-0.95484791) × R
    5.53899999999885e-05 × 6371000     		dl = 352.889689999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95490330-0.95484791) × R
    5.53899999999885e-05 × 6371000     		dr = 352.889689999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03683886-2.03693474) × cos(0.95490330) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.577687692700602 × 6371000     		do = 352.881382063716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03683886-2.03693474) × cos(0.95484791) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.577732904338467 × 6371000     		du = 352.908999659619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95490330)-sin(0.95484791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577687692700602-0.577732904338467)×R²
    abs(2.03693474-2.03683886)×4.52116378651946e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.52116378651946e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.52116378651946e-05×40589641000000     		ar = 124533.074537688m²