Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54012 / 23815
↖ ↑ ↗
← N 44.059959°
E116.696777°		 ← 438.92 m → N 44.059959°
E116.702270°		 →
↑
438.96 m
↓
↑
438.96 m
↓
N 44.056012°
E116.696777°		 ← 438.95 m →
192 675 m²		 N 44.056012°
E116.702270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824165344238281 y=0.363395690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824165344238281 × 216)
    floor (0.824165344238281 × 65536)
    floor (54012.5)     		tx = 54012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.363395690917969 × 216)
    floor (0.363395690917969 × 65536)
    floor (23815.5)     		ty = 23815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54012 / 23815 ti = "16/54012/23815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54012/23815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54012 ÷ 216
    54012 ÷ 65536     		x = 0.82415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23815 ÷ 216
    23815 ÷ 65536     		y = 0.363388061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82415771484375 × 2 - 1) × π
    0.6483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03674299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.363388061523438 × 2 - 1) × π
    0.273223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.858358124596725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03674299} λ = 2.03674299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.858358124596725))-π/2
    2×atan(2.35928386179721)-π/2
    2×1.16989384228443-π/2
    2.33978768456887-1.57079632675     		φ = 0.76899136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03674299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76899136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.059959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54012 KachelY 23815 2.03674299 0.76899136 116.696777 44.059959
    Oben rechts KachelX + 1 54013 KachelY 23815 2.03683886 0.76899136 116.702270 44.059959
    Unten links KachelX 54012 KachelY + 1 23816 2.03674299 0.76892246 116.696777 44.056012
    Unten rechts KachelX + 1 54013 KachelY + 1 23816 2.03683886 0.76892246 116.702270 44.056012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76899136-0.76892246) × R
    6.89000000000384e-05 × 6371000     		dl = 438.961900000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76899136-0.76892246) × R
    6.89000000000384e-05 × 6371000     		dr = 438.961900000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03674299-2.03683886) × cos(0.76899136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.718612454154129 × 6371000     		do = 438.919698367018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03674299-2.03683886) × cos(0.76892246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.718660366250526 × 6371000     		du = 438.948962489532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76899136)-sin(0.76892246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718612454154129-0.718660366250526)×R²
    abs(2.03683886-2.03674299)×4.79120963973179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79120963973179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79120963973179e-05×40589641000000     		ar = 192675.447736472m²