Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54012 / 20817
↖ ↑ ↗
← N 54.721447°
E116.696777°		 ← 352.76 m → N 54.721447°
E116.702270°		 →
↑
352.76 m
↓
↑
352.76 m
↓
N 54.718275°
E116.696777°		 ← 352.79 m →
124 446 m²		 N 54.718275°
E116.702270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824165344238281 y=0.317649841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824165344238281 × 216)
    floor (0.824165344238281 × 65536)
    floor (54012.5)     		tx = 54012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317649841308594 × 216)
    floor (0.317649841308594 × 65536)
    floor (20817.5)     		ty = 20817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54012 / 20817 ti = "16/54012/20817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54012/20817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54012 ÷ 216
    54012 ÷ 65536     		x = 0.82415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20817 ÷ 216
    20817 ÷ 65536     		y = 0.317642211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82415771484375 × 2 - 1) × π
    0.6483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03674299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317642211914062 × 2 - 1) × π
    0.364715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14578777471858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03674299} λ = 2.03674299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14578777471858))-π/2
    2×atan(3.14491786803309)-π/2
    2×1.26293288056793-π/2
    2.52586576113586-1.57079632675     		φ = 0.95506943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03674299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95506943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.721447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54012 KachelY 20817 2.03674299 0.95506943 116.696777 54.721447
    Oben rechts KachelX + 1 54013 KachelY 20817 2.03683886 0.95506943 116.702270 54.721447
    Unten links KachelX 54012 KachelY + 1 20818 2.03674299 0.95501406 116.696777 54.718275
    Unten rechts KachelX + 1 54013 KachelY + 1 20818 2.03683886 0.95501406 116.702270 54.718275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95506943-0.95501406) × R
    5.5369999999999e-05 × 6371000     		dl = 352.762269999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95506943-0.95501406) × R
    5.5369999999999e-05 × 6371000     		dr = 352.762269999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03674299-2.03683886) × cos(0.95506943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577552079807459 × 6371000     		do = 352.761746884452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03674299-2.03683886) × cos(0.95501406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577597280434319 × 6371000     		du = 352.789354874535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95506943)-sin(0.95501406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577552079807459-0.577597280434319)×R²
    abs(2.03683886-2.03674299)×4.52006268601979e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52006268601979e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52006268601979e-05×40589641000000     		ar = 124445.904160589m²