Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54011 / 20819
↖ ↑ ↗
← N 54.715102°
E116.691284°		 ← 352.82 m → N 54.715102°
E116.696777°		 →
↑
352.83 m
↓
↑
352.83 m
↓
N 54.711929°
E116.691284°		 ← 352.84 m →
124 488 m²		 N 54.711929°
E116.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824150085449219 y=0.317680358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824150085449219 × 216)
    floor (0.824150085449219 × 65536)
    floor (54011.5)     		tx = 54011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317680358886719 × 216)
    floor (0.317680358886719 × 65536)
    floor (20819.5)     		ty = 20819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54011 / 20819 ti = "16/54011/20819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54011/20819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54011 ÷ 216
    54011 ÷ 65536     		x = 0.824142456054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20819 ÷ 216
    20819 ÷ 65536     		y = 0.317672729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824142456054688 × 2 - 1) × π
    0.648284912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03664712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317672729492188 × 2 - 1) × π
    0.364654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1455960271201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03664712} λ = 2.03664712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1455960271201))-π/2
    2×atan(3.1443148953956)-π/2
    2×1.2628775041222-π/2
    2.5257550082444-1.57079632675     		φ = 0.95495868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03664712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.691284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95495868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.715102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54011 KachelY 20819 2.03664712 0.95495868 116.691284 54.715102
    Oben rechts KachelX + 1 54012 KachelY 20819 2.03674299 0.95495868 116.696777 54.715102
    Unten links KachelX 54011 KachelY + 1 20820 2.03664712 0.95490330 116.691284 54.711929
    Unten rechts KachelX + 1 54012 KachelY + 1 20820 2.03674299 0.95490330 116.696777 54.711929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95495868-0.95490330) × R
    5.53799999999383e-05 × 6371000     		dl = 352.825979999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95495868-0.95490330) × R
    5.53799999999383e-05 × 6371000     		dr = 352.825979999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03664712-2.03674299) × cos(0.95495868) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577642487453259 × 6371000     		do = 352.816966768821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03664712-2.03674299) × cos(0.95490330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.577687692700602 × 6371000     		du = 352.844577581038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95495868)-sin(0.95490330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577642487453259-0.577687692700602)×R²
    abs(2.03674299-2.03664712)×4.52052473424169e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52052473424169e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52052473424169e-05×40589641000000     		ar = 124487.862998379m²