Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54010 / 50137
↖ ↑ ↗
← S 68.578447°
E116.685791°		 ← 223.10 m → S 68.578447°
E116.691284°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 68.580453°
E116.685791°		 ← 223.08 m →
49 760 m²		 S 68.580453°
E116.691284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824134826660156 y=0.765037536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824134826660156 × 216)
    floor (0.824134826660156 × 65536)
    floor (54010.5)     		tx = 54010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765037536621094 × 216)
    floor (0.765037536621094 × 65536)
    floor (50137.5)     		ty = 50137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54010 / 50137 ti = "16/54010/50137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54010/50137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54010 ÷ 216
    54010 ÷ 65536     		x = 0.824127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50137 ÷ 216
    50137 ÷ 65536     		y = 0.765029907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824127197265625 × 2 - 1) × π
    0.64825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.03655124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765029907226562 × 2 - 1) × π
    -0.530059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66523201900151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03655124} λ = 2.03655124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66523201900151))-π/2
    2×atan(0.189146767246361)-π/2
    2×0.186938313579209-π/2
    0.373876627158417-1.57079632675     		φ = -1.19691970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03655124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.685791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19691970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.578447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54010 KachelY 50137 2.03655124 -1.19691970 116.685791 -68.578447
    Oben rechts KachelX + 1 54011 KachelY 50137 2.03664712 -1.19691970 116.691284 -68.578447
    Unten links KachelX 54010 KachelY + 1 50138 2.03655124 -1.19695471 116.685791 -68.580453
    Unten rechts KachelX + 1 54011 KachelY + 1 50138 2.03664712 -1.19695471 116.691284 -68.580453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19691970--1.19695471) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19691970--1.19695471) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03655124-2.03664712) × cos(-1.19691970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36522699086434 × 6371000     		do = 223.099447905283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03655124-2.03664712) × cos(-1.19695471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365194399183993 × 6371000     		du = 223.079539229106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19691970)-sin(-1.19695471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36522699086434-0.365194399183993)×R²
    abs(2.03664712-2.03655124)×3.25916803479154e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25916803479154e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25916803479154e-05×40589641000000     		ar = 49759.8237596505m²