Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54010 / 16075
↖ ↑ ↗
← N 79.329627°
W 31.657105°		 ← 56.55 m → N 79.329627°
W 31.654358°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.329118°
W 31.657105°		 ← 56.55 m →
3 199 m²		 N 79.329118°
W 31.654358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412067413330078 y=0.122646331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412067413330078 × 217)
    floor (0.412067413330078 × 131072)
    floor (54010.5)     		tx = 54010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122646331787109 × 217)
    floor (0.122646331787109 × 131072)
    floor (16075.5)     		ty = 16075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54010 / 16075 ti = "17/54010/16075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54010/16075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54010 ÷ 217
    54010 ÷ 131072     		x = 0.412063598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16075 ÷ 217
    16075 ÷ 131072     		y = 0.122642517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412063598632812 × 2 - 1) × π
    -0.175872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55252071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122642517089844 × 2 - 1) × π
    0.754714965820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.3710069921076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55252071} λ = -0.55252071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3710069921076))-π/2
    2×atan(10.708169899289)-π/2
    2×1.47767975270379-π/2
    2.95535950540757-1.57079632675     		φ = 1.38456318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55252071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.657105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38456318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.329627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54010 KachelY 16075 -0.55252071 1.38456318 -31.657105 79.329627
    Oben rechts KachelX + 1 54011 KachelY 16075 -0.55247277 1.38456318 -31.654358 79.329627
    Unten links KachelX 54010 KachelY + 1 16076 -0.55252071 1.38455430 -31.657105 79.329118
    Unten rechts KachelX + 1 54011 KachelY + 1 16076 -0.55247277 1.38455430 -31.654358 79.329118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38456318-1.38455430) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38456318-1.38455430) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55252071--0.55247277) × cos(1.38456318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185158498048672 × 6371000     		do = 56.5521712838979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55252071--0.55247277) × cos(1.38455430) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.185167224494363 × 6371000     		du = 56.5548365650309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38456318)-sin(1.38455430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185158498048672-0.185167224494363)×R²
    abs(-0.55247277--0.55252071)×8.72644569149816e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.72644569149816e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.72644569149816e-06×40589641000000     		ar = 3199.48507667675m²