Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54008 / 12616
↖ ↑ ↗
← N 80.952644°
W 31.662598°		 ← 48.03 m → N 80.952644°
W 31.659851°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
N 80.952212°
W 31.662598°		 ← 48.03 m →
2 307 m²		 N 80.952212°
W 31.659851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412052154541016 y=0.0962562561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412052154541016 × 217)
    floor (0.412052154541016 × 131072)
    floor (54008.5)     		tx = 54008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0962562561035156 × 217)
    floor (0.0962562561035156 × 131072)
    floor (12616.5)     		ty = 12616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54008 / 12616 ti = "17/54008/12616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54008/12616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54008 ÷ 217
    54008 ÷ 131072     		x = 0.41204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12616 ÷ 217
    12616 ÷ 131072     		y = 0.09625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.1759033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55261658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09625244140625 × 2 - 1) × π
    0.8074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53682072789337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55261658} λ = -0.55261658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53682072789337))-π/2
    2×atan(12.6394228603441)-π/2
    2×1.49184325398122-π/2
    2.98368650796245-1.57079632675     		φ = 1.41289018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55261658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.662598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41289018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.952644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54008 KachelY 12616 -0.55261658 1.41289018 -31.662598 80.952644
    Oben rechts KachelX + 1 54009 KachelY 12616 -0.55256864 1.41289018 -31.659851 80.952644
    Unten links KachelX 54008 KachelY + 1 12617 -0.55261658 1.41288264 -31.662598 80.952212
    Unten rechts KachelX + 1 54009 KachelY + 1 12617 -0.55256864 1.41288264 -31.659851 80.952212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41289018-1.41288264) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41289018-1.41288264) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55261658--0.55256864) × cos(1.41289018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157250749870223 × 6371000     		do = 48.0284266446361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55261658--0.55256864) × cos(1.41288264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15725819605841 × 6371000     		du = 48.0307009021736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41289018)-sin(1.41288264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157250749870223-0.15725819605841)×R²
    abs(-0.55256864--0.55261658)×7.44618818787623e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.44618818787623e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.44618818787623e-06×40589641000000     		ar = 2307.21248513537m²