Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54007 / 50138
↖ ↑ ↗
← S 68.580453°
E116.669311°		 ← 223.08 m → S 68.580453°
E116.674805°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
S 68.582459°
E116.669311°		 ← 223.06 m →
49 755 m²		 S 68.582459°
E116.674805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824089050292969 y=0.765052795410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824089050292969 × 216)
    floor (0.824089050292969 × 65536)
    floor (54007.5)     		tx = 54007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.765052795410156 × 216)
    floor (0.765052795410156 × 65536)
    floor (50138.5)     		ty = 50138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54007 / 50138 ti = "16/54007/50138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54007/50138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54007 ÷ 216
    54007 ÷ 65536     		x = 0.824081420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50138 ÷ 216
    50138 ÷ 65536     		y = 0.765045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824081420898438 × 2 - 1) × π
    0.648162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03626362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.765045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.53009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66532789280075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03626362} λ = 2.03626362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66532789280075))-π/2
    2×atan(0.189128633896442)-π/2
    2×0.186920806510867-π/2
    0.373841613021734-1.57079632675     		φ = -1.19695471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03626362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.669311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19695471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.580453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54007 KachelY 50138 2.03626362 -1.19695471 116.669311 -68.580453
    Oben rechts KachelX + 1 54008 KachelY 50138 2.03635950 -1.19695471 116.674805 -68.580453
    Unten links KachelX 54007 KachelY + 1 50139 2.03626362 -1.19698972 116.669311 -68.582459
    Unten rechts KachelX + 1 54008 KachelY + 1 50139 2.03635950 -1.19698972 116.674805 -68.582459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19695471--1.19698972) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19695471--1.19698972) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03626362-2.03635950) × cos(-1.19695471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365194399183993 × 6371000     		do = 223.079539229106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03626362-2.03635950) × cos(-1.19698972) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.365161807056026 × 6371000     		du = 223.059630279502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19695471)-sin(-1.19698972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365194399183993-0.365161807056026)×R²
    abs(2.03635950-2.03626362)×3.25921279666908e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.25921279666908e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.25921279666908e-05×40589641000000     		ar = 49755.383124504m²