Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 54007 / 21562
↖ ↑ ↗
← N 52.288323°
E116.669311°		 ← 373.65 m → N 52.288323°
E116.674805°		 →
↑
373.66 m
↓
↑
373.66 m
↓
N 52.284962°
E116.669311°		 ← 373.68 m →
139 623 m²		 N 52.284962°
E116.674805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824089050292969 y=0.329017639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824089050292969 × 216)
    floor (0.824089050292969 × 65536)
    floor (54007.5)     		tx = 54007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329017639160156 × 216)
    floor (0.329017639160156 × 65536)
    floor (21562.5)     		ty = 21562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54007 / 21562 ti = "16/54007/21562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54007/21562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54007 ÷ 216
    54007 ÷ 65536     		x = 0.824081420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21562 ÷ 216
    21562 ÷ 65536     		y = 0.329010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.824081420898438 × 2 - 1) × π
    0.648162841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03626362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329010009765625 × 2 - 1) × π
    0.34197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0743617942847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03626362} λ = 2.03626362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0743617942847))-π/2
    2×atan(2.9281235588945)-π/2
    2×1.24169985812339-π/2
    2.48339971624678-1.57079632675     		φ = 0.91260339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03626362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.669311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91260339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.288323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54007 KachelY 21562 2.03626362 0.91260339 116.669311 52.288323
    Oben rechts KachelX + 1 54008 KachelY 21562 2.03635950 0.91260339 116.674805 52.288323
    Unten links KachelX 54007 KachelY + 1 21563 2.03626362 0.91254474 116.669311 52.284962
    Unten rechts KachelX + 1 54008 KachelY + 1 21563 2.03635950 0.91254474 116.674805 52.284962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91260339-0.91254474) × R
    5.86500000000489e-05 × 6371000     		dl = 373.659150000312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91260339-0.91254474) × R
    5.86500000000489e-05 × 6371000     		dr = 373.659150000312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03626362-2.03635950) × cos(0.91260339) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.611688285797177 × 6371000     		do = 373.650694677623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03626362-2.03635950) × cos(0.91254474) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		du = 373.679036291037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91260339)-sin(0.91254474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611688285797177-0.611734682694527)×R²
    abs(2.03635950-2.03626362)×4.63968973500872e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.63968973500872e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.63968973500872e-05×40589641000000     		ar = 139623.296061847m²