Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54007 / 16085
↖ ↑ ↗
← N 79.324540°
W 31.665344°		 ← 56.58 m → N 79.324540°
W 31.662598°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.324031°
W 31.665344°		 ← 56.58 m →
3 201 m²		 N 79.324031°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412044525146484 y=0.122722625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412044525146484 × 217)
    floor (0.412044525146484 × 131072)
    floor (54007.5)     		tx = 54007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122722625732422 × 217)
    floor (0.122722625732422 × 131072)
    floor (16085.5)     		ty = 16085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54007 / 16085 ti = "17/54007/16085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54007/16085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54007 ÷ 217
    54007 ÷ 131072     		x = 0.412040710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16085 ÷ 217
    16085 ÷ 131072     		y = 0.122718811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412040710449219 × 2 - 1) × π
    -0.175918579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55266452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122718811035156 × 2 - 1) × π
    0.754562377929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.3705276231114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55266452} λ = -0.55266452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3705276231114))-π/2
    2×atan(10.7030379647767)-π/2
    2×1.47763536262702-π/2
    2.95527072525405-1.57079632675     		φ = 1.38447440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55266452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.665344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38447440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.324540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54007 KachelY 16085 -0.55266452 1.38447440 -31.665344 79.324540
    Oben rechts KachelX + 1 54008 KachelY 16085 -0.55261658 1.38447440 -31.662598 79.324540
    Unten links KachelX 54007 KachelY + 1 16086 -0.55266452 1.38446552 -31.665344 79.324031
    Unten rechts KachelX + 1 54008 KachelY + 1 16086 -0.55261658 1.38446552 -31.662598 79.324031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38447440-1.38446552) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38447440-1.38446552) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55266452--0.55261658) × cos(1.38447440) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185245742194603 × 6371000     		do = 56.5788178915988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55266452--0.55261658) × cos(1.38446552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185254468494284 × 6371000     		du = 56.5814831281363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38447440)-sin(1.38446552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185245742194603-0.185254468494284)×R²
    abs(-0.55261658--0.55266452)×8.72629968090566e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72629968090566e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72629968090566e-06×40589641000000     		ar = 3200.9925932238m²