Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54007 / 13081
↖ ↑ ↗
← N 80.749583°
W 31.665344°		 ← 49.10 m → N 80.749583°
W 31.662598°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
N 80.749142°
W 31.665344°		 ← 49.10 m →
2 412 m²		 N 80.749142°
W 31.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412044525146484 y=0.0998039245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412044525146484 × 217)
    floor (0.412044525146484 × 131072)
    floor (54007.5)     		tx = 54007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0998039245605469 × 217)
    floor (0.0998039245605469 × 131072)
    floor (13081.5)     		ty = 13081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54007 / 13081 ti = "17/54007/13081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54007/13081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54007 ÷ 217
    54007 ÷ 131072     		x = 0.412040710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13081 ÷ 217
    13081 ÷ 131072     		y = 0.0998001098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412040710449219 × 2 - 1) × π
    -0.175918579101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.55266452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0998001098632812 × 2 - 1) × π
    0.800399780273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.51453006957005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55266452} λ = -0.55266452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51453006957005))-π/2
    2×atan(12.3607986986053)-π/2
    2×1.4900712135746-π/2
    2.98014242714921-1.57079632675     		φ = 1.40934610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55266452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.665344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40934610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.749583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54007 KachelY 13081 -0.55266452 1.40934610 -31.665344 80.749583
    Oben rechts KachelX + 1 54008 KachelY 13081 -0.55261658 1.40934610 -31.662598 80.749583
    Unten links KachelX 54007 KachelY + 1 13082 -0.55266452 1.40933839 -31.665344 80.749142
    Unten rechts KachelX + 1 54008 KachelY + 1 13082 -0.55261658 1.40933839 -31.662598 80.749142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40934610-1.40933839) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40934610-1.40933839) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55266452--0.55261658) × cos(1.40934610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160749742035769 × 6371000     		do = 49.0971089160516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55266452--0.55261658) × cos(1.40933839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160757351763966 × 6371000     		du = 49.0994331229174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40934610)-sin(1.40933839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160749742035769-0.160757351763966)×R²
    abs(-0.55261658--0.55266452)×7.6097281969667e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.6097281969667e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.6097281969667e-06×40589641000000     		ar = 2411.72720263945m²