Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54005 / 13932
↖ ↑ ↗
← N 80.366193°
W 31.670837°		 ← 51.11 m → N 80.366193°
W 31.668091°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.365733°
W 31.670837°		 ← 51.12 m →
2 612 m²		 N 80.365733°
W 31.668091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412029266357422 y=0.106296539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412029266357422 × 217)
    floor (0.412029266357422 × 131072)
    floor (54005.5)     		tx = 54005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106296539306641 × 217)
    floor (0.106296539306641 × 131072)
    floor (13932.5)     		ty = 13932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54005 / 13932 ti = "17/54005/13932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54005/13932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54005 ÷ 217
    54005 ÷ 131072     		x = 0.412025451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13932 ÷ 217
    13932 ÷ 131072     		y = 0.106292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412025451660156 × 2 - 1) × π
    -0.175949096679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.55276039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106292724609375 × 2 - 1) × π
    0.78741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47373576799338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55276039} λ = -0.55276039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47373576799338))-π/2
    2×atan(11.8666953698363)-π/2
    2×1.48672549747566-π/2
    2.97345099495131-1.57079632675     		φ = 1.40265467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55276039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.670837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40265467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.366193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54005 KachelY 13932 -0.55276039 1.40265467 -31.670837 80.366193
    Oben rechts KachelX + 1 54006 KachelY 13932 -0.55271245 1.40265467 -31.668091 80.366193
    Unten links KachelX 54005 KachelY + 1 13933 -0.55276039 1.40264665 -31.670837 80.365733
    Unten rechts KachelX + 1 54006 KachelY + 1 13933 -0.55271245 1.40264665 -31.668091 80.365733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40265467-1.40264665) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dl = 51.0954199992766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40265467-1.40264665) × R
    8.01999999988645e-06 × 6371000     		dr = 51.0954199992766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55276039--0.55271245) × cos(1.40265467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167350503236133 × 6371000     		do = 51.1131512902349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55276039--0.55271245) × cos(1.40264665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16735841012841 × 6371000     		du = 51.1155662586597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40265467)-sin(1.40264665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167350503236133-0.16735841012841)×R²
    abs(-0.55271245--0.55276039)×7.90689227719854e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90689227719854e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90689227719854e-06×40589641000000     		ar = 2611.70962965444m²