Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54004 / 13236
↖ ↑ ↗
← N 80.680897°
W 31.673584°		 ← 49.46 m → N 80.680897°
W 31.670837°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.680453°
W 31.673584°		 ← 49.46 m →
2 445 m²		 N 80.680453°
W 31.670837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412021636962891 y=0.100986480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412021636962891 × 217)
    floor (0.412021636962891 × 131072)
    floor (54004.5)     		tx = 54004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100986480712891 × 217)
    floor (0.100986480712891 × 131072)
    floor (13236.5)     		ty = 13236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54004 / 13236 ti = "17/54004/13236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54004/13236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54004 ÷ 217
    54004 ÷ 131072     		x = 0.412017822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13236 ÷ 217
    13236 ÷ 131072     		y = 0.100982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.17596435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55280833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100982666015625 × 2 - 1) × π
    0.79803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50709985012894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55280833} λ = -0.55280833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50709985012894))-π/2
    2×atan(12.2692956167721)-π/2
    2×1.4894718156061-π/2
    2.9789436312122-1.57079632675     		φ = 1.40814730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55280833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.673584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40814730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.680897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54004 KachelY 13236 -0.55280833 1.40814730 -31.673584 80.680897
    Oben rechts KachelX + 1 54005 KachelY 13236 -0.55276039 1.40814730 -31.670837 80.680897
    Unten links KachelX 54004 KachelY + 1 13237 -0.55280833 1.40813954 -31.673584 80.680453
    Unten rechts KachelX + 1 54005 KachelY + 1 13237 -0.55276039 1.40813954 -31.670837 80.680453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40814730-1.40813954) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40814730-1.40813954) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55280833--0.55276039) × cos(1.40814730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161932836087025 × 6371000     		do = 49.4584562921459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55280833--0.55276039) × cos(1.40813954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161940493663976 × 6371000     		du = 49.4607951132528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40814730)-sin(1.40813954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161932836087025-0.161940493663976)×R²
    abs(-0.55276039--0.55280833)×7.65757695114777e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.65757695114777e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.65757695114777e-06×40589641000000     		ar = 2445.2324567888m²