Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54003 / 13235
↖ ↑ ↗
← N 80.681342°
W 31.676330°		 ← 49.45 m → N 80.681342°
W 31.673584°		 →
↑
49.50 m
↓
↑
49.50 m
↓
N 80.680897°
W 31.676330°		 ← 49.45 m →
2 448 m²		 N 80.680897°
W 31.673584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412014007568359 y=0.100978851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412014007568359 × 217)
    floor (0.412014007568359 × 131072)
    floor (54003.5)     		tx = 54003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100978851318359 × 217)
    floor (0.100978851318359 × 131072)
    floor (13235.5)     		ty = 13235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54003 / 13235 ti = "17/54003/13235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54003/13235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54003 ÷ 217
    54003 ÷ 131072     		x = 0.412010192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13235 ÷ 217
    13235 ÷ 131072     		y = 0.100975036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412010192871094 × 2 - 1) × π
    -0.175979614257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.55285626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100975036621094 × 2 - 1) × π
    0.798049926757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.50714778702856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55285626} λ = -0.55285626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50714778702856))-π/2
    2×atan(12.2698837828618)-π/2
    2×1.48947569679325-π/2
    2.9789513935865-1.57079632675     		φ = 1.40815507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55285626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.676330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40815507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.681342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54003 KachelY 13235 -0.55285626 1.40815507 -31.676330 80.681342
    Oben rechts KachelX + 1 54004 KachelY 13235 -0.55280833 1.40815507 -31.673584 80.681342
    Unten links KachelX 54003 KachelY + 1 13236 -0.55285626 1.40814730 -31.676330 80.680897
    Unten rechts KachelX + 1 54004 KachelY + 1 13236 -0.55280833 1.40814730 -31.673584 80.680897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40815507-1.40814730) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dl = 49.5026700004686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40815507-1.40814730) × R
    7.77000000007355e-06 × 6371000     		dr = 49.5026700004686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55285626--0.55280833) × cos(1.40815507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161925168632292 × 6371000     		do = 49.4457982016794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55285626--0.55280833) × cos(1.40814730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161932836087025 × 6371000     		du = 49.4481395512215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40815507)-sin(1.40814730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161925168632292-0.161932836087025)×R²
    abs(-0.55280833--0.55285626)×7.66745473287922e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.66745473287922e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.66745473287922e-06×40589641000000     		ar = 2447.75698269557m²