Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54002 / 16081
↖ ↑ ↗
← N 79.326575°
W 31.679077°		 ← 56.57 m → N 79.326575°
W 31.676330°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.326066°
W 31.679077°		 ← 56.57 m →
3 200 m²		 N 79.326066°
W 31.676330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412006378173828 y=0.122692108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412006378173828 × 217)
    floor (0.412006378173828 × 131072)
    floor (54002.5)     		tx = 54002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122692108154297 × 217)
    floor (0.122692108154297 × 131072)
    floor (16081.5)     		ty = 16081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54002 / 16081 ti = "17/54002/16081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54002/16081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54002 ÷ 217
    54002 ÷ 131072     		x = 0.412002563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16081 ÷ 217
    16081 ÷ 131072     		y = 0.122688293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412002563476562 × 2 - 1) × π
    -0.175994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55290420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122688293457031 × 2 - 1) × π
    0.754623413085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.37071937070988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55290420} λ = -0.55290420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37071937070988))-π/2
    2×atan(10.7050904433755)-π/2
    2×1.4776531211671-π/2
    2.9553062423342-1.57079632675     		φ = 1.38450992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55290420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.679077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38450992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.326575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54002 KachelY 16081 -0.55290420 1.38450992 -31.679077 79.326575
    Oben rechts KachelX + 1 54003 KachelY 16081 -0.55285626 1.38450992 -31.676330 79.326575
    Unten links KachelX 54002 KachelY + 1 16082 -0.55290420 1.38450104 -31.679077 79.326066
    Unten rechts KachelX + 1 54003 KachelY + 1 16082 -0.55285626 1.38450104 -31.676330 79.326066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38450992-1.38450104) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38450992-1.38450104) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55290420--0.55285626) × cos(1.38450992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185210836849812 × 6371000     		do = 56.568156900836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55290420--0.55285626) × cos(1.38450104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185219563207919 × 6371000     		du = 56.5708221552182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38450992)-sin(1.38450104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185210836849812-0.185219563207919)×R²
    abs(-0.55285626--0.55290420)×8.72635810655886e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72635810655886e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72635810655886e-06×40589641000000     		ar = 3200.3894537839m²