Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54002 / 13934
↖ ↑ ↗
← N 80.365273°
W 31.679077°		 ← 51.12 m → N 80.365273°
W 31.676330°		 →
↑
51.10 m
↓
↑
51.10 m
↓
N 80.364814°
W 31.679077°		 ← 51.12 m →
2 612 m²		 N 80.364814°
W 31.676330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412006378173828 y=0.106311798095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412006378173828 × 217)
    floor (0.412006378173828 × 131072)
    floor (54002.5)     		tx = 54002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106311798095703 × 217)
    floor (0.106311798095703 × 131072)
    floor (13934.5)     		ty = 13934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54002 / 13934 ti = "17/54002/13934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54002/13934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54002 ÷ 217
    54002 ÷ 131072     		x = 0.412002563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13934 ÷ 217
    13934 ÷ 131072     		y = 0.106307983398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412002563476562 × 2 - 1) × π
    -0.175994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55290420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106307983398438 × 2 - 1) × π
    0.787384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47363989419414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55290420} λ = -0.55290420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47363989419414))-π/2
    2×atan(11.8655577192031)-π/2
    2×1.48671747483214-π/2
    2.97343494966429-1.57079632675     		φ = 1.40263862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55290420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.679077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40263862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.365273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54002 KachelY 13934 -0.55290420 1.40263862 -31.679077 80.365273
    Oben rechts KachelX + 1 54003 KachelY 13934 -0.55285626 1.40263862 -31.676330 80.365273
    Unten links KachelX 54002 KachelY + 1 13935 -0.55290420 1.40263060 -31.679077 80.364814
    Unten rechts KachelX + 1 54003 KachelY + 1 13935 -0.55285626 1.40263060 -31.676330 80.364814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40263862-1.40263060) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dl = 51.0954200006912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40263862-1.40263060) × R
    8.0200000001085e-06 × 6371000     		dr = 51.0954200006912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55290420--0.55285626) × cos(1.40263862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167366326868871 × 6371000     		do = 51.1179842349733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55290420--0.55285626) × cos(1.40263060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.167374233739605 × 6371000     		du = 51.1203991968184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40263862)-sin(1.40263060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167366326868871-0.167374233739605)×R²
    abs(-0.55285626--0.55290420)×7.90687073437546e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.90687073437546e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.90687073437546e-06×40589641000000     		ar = 2611.95657090143m²