Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54002 / 13555
↖ ↑ ↗
← N 80.537943°
W 31.679077°		 ← 50.21 m → N 80.537943°
W 31.676330°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.537491°
W 31.679077°		 ← 50.21 m →
2 521 m²		 N 80.537491°
W 31.676330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412006378173828 y=0.103420257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412006378173828 × 217)
    floor (0.412006378173828 × 131072)
    floor (54002.5)     		tx = 54002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103420257568359 × 217)
    floor (0.103420257568359 × 131072)
    floor (13555.5)     		ty = 13555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54002 / 13555 ti = "17/54002/13555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54002/13555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54002 ÷ 217
    54002 ÷ 131072     		x = 0.412002563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13555 ÷ 217
    13555 ÷ 131072     		y = 0.103416442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412002563476562 × 2 - 1) × π
    -0.175994873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55290420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103416442871094 × 2 - 1) × π
    0.793167114257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.49180797915014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55290420} λ = -0.55290420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49180797915014))-π/2
    2×atan(12.0831023809611)-π/2
    2×1.48822430004-π/2
    2.97644860008-1.57079632675     		φ = 1.40565227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55290420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.679077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40565227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.537943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54002 KachelY 13555 -0.55290420 1.40565227 -31.679077 80.537943
    Oben rechts KachelX + 1 54003 KachelY 13555 -0.55285626 1.40565227 -31.676330 80.537943
    Unten links KachelX 54002 KachelY + 1 13556 -0.55290420 1.40564439 -31.679077 80.537491
    Unten rechts KachelX + 1 54003 KachelY + 1 13556 -0.55285626 1.40564439 -31.676330 80.537491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40565227-1.40564439) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40565227-1.40564439) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55290420--0.55285626) × cos(1.40565227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164394429552376 × 6371000     		do = 50.2102902978794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55290420--0.55285626) × cos(1.40564439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164402202337378 × 6371000     		du = 50.2126643064904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40565227)-sin(1.40564439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164394429552376-0.164402202337378)×R²
    abs(-0.55285626--0.55290420)×7.77278500155298e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.77278500155298e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.77278500155298e-06×40589641000000     		ar = 2520.79089646493m²